Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn)，△EBC沿直線EC翻折，使B點(diǎn)落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)P處，聯(lián)結(jié)AP并延長(zhǎng)AP交CD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)BP交CE于點(diǎn)Q．

（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；

（2）如果PA＝PE，求證：△APB≌△EPC．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得到BE＝PE，EC與PB垂直，根據(jù)E為AB中點(diǎn)，得到AE＝EB＝PE，利用三角形內(nèi)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形為直角三角形，得到∠APB為90°，進(jìn)而得到AF與EC平行，再由AE與FC平行，利用兩對(duì)邊平行的四邊形為平行四邊形即可得證；

（2）根據(jù)三角形AEP為等邊三角形，得到三條邊相等，三內(nèi)角相等，再由折疊的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角定義得到一對(duì)角相等，根據(jù)同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由AP＝EB，利用AAS即可得證．

證明：（1）由折疊得到EC垂直平分BP，

設(shè)EC與BP交于Q，

∴BQ＝PQ

∵E為AB的中點(diǎn)，

∴AE＝EB，

∴EQ為△ABP的中位線，

∴AF∥EC，

∵AE∥FC，

∴四邊形AECF為平行四邊形；

（2）∵AF∥EC，

∴∠APB＝∠EQB＝90°，

由翻折性質(zhì)∠EPC＝∠EBC＝90°，∠PEC＝∠BEC，

∵E為直角△APB斜邊AB的中點(diǎn)，且AP＝EP，

∴△AEP為等邊三角形，∠BAP＝∠AEP＝60°，

∠CEP＝∠CEB＝＝60°，

在△ABP和△EPC中，

∠BAP=∠CEP

∠APB=∠EPC

AP=EP

∴△ABP≌△EPC（AAS）．