Question

設(shè)菱形的周長為20，兩條對角線的長是方程x²-（2m-1）x+4m-4=0的兩個根，則m的值為（　�。�

• A、

  13

  2

• B、-

  7

  2

• C、

  13

  2

  或-

  7

  2

• D、以上答案都不對

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關(guān)系,解一元二次方程-因式分解法,勾股定理,菱形的性質(zhì)

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：先根據(jù)菱形的四邊相等及周長公式求出此菱形的邊長為5．設(shè)菱形ABCD的兩條對角線長分別為α，β，那么由根與系數(shù)的關(guān)系，可得α+β=2m-1①，α•β=4m-4②．再根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分及勾股定理可知，（

α

2

）²+（

β

2

）²=5²，把①②兩式分別代入，得到一個關(guān)于m的一元二次方程，運(yùn)用因式分解法求出此方程的根，最后根據(jù)判別式及α，β表示的實際意義確定m的值．

解答：解：如圖．∵菱形ABCD的周長為20，
∴AB=5．
設(shè)菱形ABCD的兩條對角線長分別為α，β，則α，β是方程x²-（2m-1）x+4m-4=0的兩個根，
∴α+β=2m-1 ①，α•β=4m-4 ②．
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD，
∴OA²+OB²=AB²，
即（

α

2

）²+（

β

2

）²=5²，
∴α²+β²=100，
∴（α+β）²-2αβ=100，
把①②兩式分別代入，得（2m-1）²-2（4m-4）=100，
整理，得4m²-12m-91=0，
解得m=

13

2

或-

7

2

．
當(dāng)m=

13

2

時，△=144-88＞0，
當(dāng)m=-

7

2

時，△=64+72＞0，
∴m=

13

2

或-

7

2

都是原方程的根．
又當(dāng)m=-

7

2

時，α+β=2m-1=-8＜0，α•β=4m-4=-18，
∴α與β一正一負(fù)，這與α，β表示對角線長相矛盾．
∴m≠-

7

2

．
∴m=

13

2

．
故選A．

點評：本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，菱形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，勾股定理的應(yīng)用．綜合性較強(qiáng)，難度中等．注意運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系解題時，需要用判別式進(jìn)行檢驗，此外，本題還需結(jié)合實際意義舍去不符合要求的m的值．