Question

如圖，正△ABC內(nèi)接于⊙O，D是⊙O上一點(diǎn)，∠DCA=15°，CD=10，則BC的長(zhǎng)為（　�。�

• A．5

  6

• B．10

  2

• C．5

  2

• D．

  5 6

  2

Answer 1

分析：作OE⊥CD于E，則E是CD的中點(diǎn)，連接OC，根據(jù)△ABC是正三角形可知OC平分∠ACB，即∠OCA=30°，故可得出△OCE是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可求出OC的長(zhǎng)，作OF⊥BC于F，則F是BC的中點(diǎn)，在Rt△OFC中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出OF的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求出CF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：作OE⊥CD于E，則E是CD的中點(diǎn)，連接OC，
∵△ABC是正三角形，
∴OC平分∠ACB，即∠OCA=30°，
∵∠ACD=15°，
∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°，
∴△OCE是等腰直角三角形，
∴OE=CE=

1

2

CD=5，
∴OC=

OE2+CE2

=

52+52

=5

2

，
作OF⊥BC于F，則F是BC的中點(diǎn)，
在Rt△OFC中，
∵∠OCF=30°，
∴OF=

1

2

OC=

5 2

2

，
∴CF=

OC2-OF2

=

(5 2 )2-( 5 2 2 )2

=

5 6

2

，
∴BC=2FC=5

6

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．