Question

（2012•順義區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx²+2mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B（0，3），
（1）求拋物線的解析式；
（2）向右平移上述拋物線，若平移后的拋物線仍經(jīng)過點(diǎn)B，求平移后拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，記平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為A′，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，試問：在平移后的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△OA′P的面積與四邊形AA′B′B的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A及點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線方程，利用待定系數(shù)法求出m、n即可．
（2）令y=3，解出x的值，從而根據(jù)平移后的拋物線仍經(jīng)過點(diǎn)B，可得出平移的長度，繼而可得出平移后拋物線的解析式．
（3）先求出四邊形AA′B′B的面積，然后設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y_P，利用面積相等可得出方程，解出即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得，拋物線y=mx²+2mx+n經(jīng)過點(diǎn)A（-4，0）和點(diǎn)B（0，3），
故可得：

16m-8m+n=0 n=3.

，
解得：

m=- 3 8 n=3.

．
即拋物線的解析式為：y=-

3

8

x2-

3

4

x+3．

（2）令y=3，得-

3

8

x2-

3

4

x+3=3，得x₁=0，x₂=-2，
∵拋物線向右平移后仍經(jīng)過點(diǎn)B，
∴拋物線向右平移2個單位，
∵y=-

3

8

x2-

3

4

x+3=-

3

8

(x2+2x+1)+

3

8

+3=-

3

8

(x+1)2+

27

8

，
∴平移后的拋物線解析式為y=-

3

8

(x-1)2+

27

8

．

（3）由拋物線向右平移2個單位，得A'（-2，0），B'（2，3），
又∵四邊形AA'B'B為平行四邊形，
∴其面積=AA'•OB=2×3=6，
設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y_P，由△OA'P的面積=6，
故可得

1

2

OA′•|yP|=6，即

1

2

×2•|yP|=6，
解得：|y_P|=6，y_P=±6，
當(dāng)y_P=6時，方程-

3

8

(x-1)2+

27

8

=6無實根，
當(dāng)y_P=-6時，方程-

3

8

(x-1)2+

27

8

=-6的解為x₁=6，x₂=-4．
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，-6）或（-4，-6）．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)的綜合題，綜合考察的知識點(diǎn)較多，本題的關(guān)鍵之處是第二問，需要我們確定平移的長度，在第三問的求解中注意方程思想的運(yùn)用．