Question

已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．
（1）求證：△BFC≌△DFC；
（2）求證：AD=DE；
（3）若△DEF的周長(zhǎng)為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．

Answer 1

證明：
（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，
∴△DFC≌△BFC（SAS）．

（2）延長(zhǎng)DF交BC于G，
∵AD∥BG，AB∥DG，
∴四邊形ABGD為平行四邊形．
∴AD=BG．
∵△DFC≌△BFC，
∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．
又∵∠3=∠4，
∴△DFE≌△BFG．
∴DE=BG，EF=GF．
∴AD=DE．

（3）∵EF=GF，DF=BF，
∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．
∵DG=AB，
∴BE=AB．
∵C_△DFE=DF+FE+DE=6，
∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．
∴AB+AD=6．
又∵AD=2，
∴AB=4．
∴DG=AB=4．
∵BG=AD=2，
∴GC=BC-BG=5-2=3．
又∵DC=BC=5，
在△DGC中∵4²+3²=5²
∴DG²+GC²=DC²
∴∠DGC=90°．
∴S_梯形ABCD=（AD+BC）•DG
=（2+5）×4
=14．
分析：（1）根據(jù)CF平分∠BCD，可知：∠1=∠2，又DC=BC，CF=CF，可證：△DCF≌△BCF；
（2）作輔助線，延長(zhǎng)DF交BC于G，由AD∥BG，AB∥DG，可知：四邊形ABGD為平行四邊形，AD=BG，故證AD=DE只需證明BG=DE，由（1）可知：∠EDF=∠GBF，DF=BF，對(duì)頂角∠3=∠4，可證：△DFE≌△BFG，BG=DE，從而可證：AD=DE；
（3）由（1）（2）可知：EF=GF，DF=BF，可得：BE=DG，根據(jù)C_△DFE=6，可得：EB+DE=AB+AD=6，已知AD的長(zhǎng)，可求出AB，又AD=BG，BC=DC=5，可得CG=3，根據(jù)勾股定理逆定理可得：△DGC為直角三角形，即DG為梯形的高，代入梯形面積公式：S=（AD+BC）•DG計(jì)算即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查梯形性質(zhì)的應(yīng)用，求梯形的面積時(shí)關(guān)鍵是證明△DGC為直角三角形．