Question

（2009•眉山）如圖，已知直線y=x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=x²+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，且B點坐標為（1，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）動點P在x軸上移動，當△PAE是直角三角形時，求點P的坐標P；
（3）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AM-MC|的值最大，求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得點A（0，1），那么把A，B坐標代入y=x²+bx+c即可求得函數解析式；
（2）讓直線解析式與拋物線的解析式結合即可求得點E的坐標．△PAE是直角三角形，應分點P為直角頂點，點A是直角頂點，點E是直角頂點三種情況探討；
（3）易得|AM-MC|的值最大，應找到C關于對稱軸的對稱點B，連接AB交對稱軸的一點就是M．應讓過AB的直線解析式和對稱軸的解析式聯立即可求得點M坐標．
解答：解：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標代入y=x²+bx+c
得，
解得，
∴拋物線的解折式為y=x²-x+1；（2分）

（2）設點E的橫坐標為m，則它的縱坐標為m²-m+1，
即E點的坐標（m，m²-m+1），
又∵點E在直線y=x+1上，
∴m²-m+1=m+1
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴E的坐標為（4，3）．（4分）
（Ⅰ）當A為直角頂點時，
過A作AP₁⊥DE交x軸于P₁點，設P₁（a，0）易知D點坐標為（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P₁OA得
即，
∴a=，
∴P₁（，0）．（5分）
（Ⅱ）同理，當E為直角頂點時，過E作EP₂⊥DE交x軸于P₂點，
由Rt△AOD∽Rt△P₂ED得，
即=，
∴EP₂=，
∴DP₂==
∴a=-2=，
P₂點坐標為（，0）．（6分）
（Ⅲ）當P為直角頂點時，過E作EF⊥x軸于F，設P₃（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由得，
解得b₁=3，b₂=1，
∴此時的點P₃的坐標為（1，0）或（3，0），（8分）
綜上所述，滿足條件的點P的坐標為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；

（3）拋物線的對稱軸為，（9分）
∵B、C關于x=對稱，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大，
由三角形兩邊之差小于第三邊得，當A、B、M在同一直線上時|AM-MB|的值最大．（10分）
易知直線AB的解折式為y=-x+1
∴由，
得，
∴M（，-）．（11分）
點評：一個三角形是直角三角形，應分不同頂點為直角等多種情況進行分析；
求兩條線段和或差的最值，都要考慮做其中一點關于所求的點在的直線的對稱點．