Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E為CD的中點，F(xiàn)為AD邊上一點，且不與點D重合，AF=a。

（1）判斷四邊形BCEF的面積是否存在最大或最小值，若存在，求出最大或最小值；若不存在，請說明理由；
（2）若∠BFE=∠FBC，求tan∠AFB的值；
（3）在（2）的條件下，若將“E為CD的中點”改為“CE= K·DE”，其中k是為正整數(shù)，其他條件不變，請直接寫出tan∠AFB的值。（用k的代數(shù)式表示）

Answer 1

解：（1）如圖（1），S四邊形BCEF=S正方形ABCD-S△ABF-S△DEF=42-1/2×4×a-1/2×2×（4-a）=12-a， ∵F為AD邊上一點，且不與點D重合， ∴0≤a<4， ∴當(dāng)點F與點A重合時，a=0， S四邊形BCEF存在最大值12；S四邊形BCEF不存在最小值；
（2）如圖（2），延長BC、FE交于點P ∵正方形ABCD， ∴AD∥BC， ∴△DEF∽△CEP， ∵E為CD的中點， ∴，PF=2EF， ∵∠BFE=∠FBC， ∴PB=PF， ∵AF=a， ∴PC=DF=4-a，PB=PF=8-a，EF=PF/2=8-a/2， ∵Rt△DEF中，EF2=DE2+DF2， ∴（8-a/2）2=22+（4-a）2， 整理，得3a2-16a+16=0 ， 解得a1=4/3，a2=4， ∵F點不與D點重合， ∴a=4不成立，a=4/3，tan∠AFB=AB/AF=3；
（3）tan∠AFB=2k+1（K為正整數(shù)）