Question

如圖，直線l：y=x+6交x、y軸分別為A、B兩點，C點與A點關于y軸對稱．動點P、Q分別在線段AC、AB上（點P不與點A、C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．
（1）點A坐標是______，點B的坐標______，BC=______．
（2）當點P在什么位置時，△APQ≌△CBP，說明理由．
（3）在（2）的條件下，可得點Q的橫坐標為，在x軸上是否存在點M，使得MQ+MB的值最小？如果存在求出點M的坐標，如果不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵y=x+6
∴當x=0時，y=6，
當y=0時，x=-8，
即點A的坐標是（-8，0），點B的坐標是（0，6），
∵C點與A點關于y軸對稱，
∴C的坐標是（8，0），
∴OA=8，OC=8，OB=6，
由勾股定理得：BC==10，

（2）當P的坐標是（2，0）時，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA=8，P（2，0），
∴AP=8+2=10=BP，
∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，
∴∠AQP=∠BPC，
∵A和C關于y軸對稱，
∴∠BAO=∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴當P的坐標是（2，0）時，△APQ≌△CBP．

（3）B點關于x軸對稱的點B′的坐標為（0，-6），
把點Q的橫坐標為代入直線l可得y=×（）+6=，
則點Q的坐標為（，），
設直線B′Q的解析式為y=kx+b，則
，
解得，
故直線B′Q的解析式為y=3x-6，
把y=0代入y=3x-6可得0=3x-6，解得x=2，
故點M的坐標為（-2，0）．
故答案為：（-8，0），（0，6），10．
分析：（1）把x=0和y=0分別代入一次函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標，根據(jù)勾股定理求出BC即可．
（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根據(jù)點的坐標求出AP=BC，根據(jù)全等三角形的判定推出即可．
（3）先找到B點關于x軸對稱的點B′的坐標，把點Q的橫坐標為代入直線l可得點Q的坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法可得直線B′Q的解析式，把y=0代入該函數(shù)的解析式，即可求出點M的坐標．
點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，勾股定理，軸對稱最短路線，全等三角形的性質和判定的應用，題目綜合性比較強，難度偏大．