Question

17、設a₁，a₂，…a_n，是n個任意給定的．求證：一定可以找到緊連在一起的若干個數(shù)，使得它們的和能被n整除．

Answer 1

分析：首先構(gòu)造n個抽屜，被n除后余數(shù)可以為0、1、2、3、…（n-1），余數(shù)為0的符合題意，如果余數(shù)都不為0，則其中有兩個余數(shù)相同，進一步作差問題得證．

解答：證明：根據(jù)題意構(gòu)造抽屜{a₁}，{a₁+a₂}，{a₁+a₂++a_n}；
若其中某個被n整除，則問題得解；
否則它們被n除得的余數(shù)是1，2，，n-1共n-1個抽屜，
而{a₁}，{a₁+a₂}，，{a₁+a₂++a_n}共n個數(shù)放入n-1個抽屜，
所以必有2個數(shù)在同一抽屜，則設其為a₁+a₂+…+a_i與a₁+a₂+…+a_j，
∴（a₁+a₂++a_i）-（a₁+a₂++a_j）=a_j+1++a_i能被n整除，
∴即可找到緊連在一起的若干個數(shù)，其和被n整除．

點評：此題關(guān)鍵是構(gòu)造出抽屜，利用有余數(shù)的除法進行探討數(shù)的整除性問題．