Question

已知AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，A是切點(diǎn)，BP與⊙O交于點(diǎn)C
（1）如圖①，若AB=1，∠P=30°，求AP的長（結(jié)果保留根號）；
（2）如圖②，若D為AP的中點(diǎn)，求證：直線CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）由AP是⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠BAP=90°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可得到AP的長；
（2）連結(jié)OC、AC，由AB是⊙O的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，則△ACP為直角三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得DC=DA，所以∠DCA=∠DAC，而∠OCA=∠OAC，于是得∠OCA+∠DAC=∠OAC+∠DAC，即∠OCD=∠OAD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線CD是⊙O的切線．

解答：（1）解：∵AB是⊙O的直徑，AP是⊙O的切線，
∴BA⊥PA，
∴∠BAP=90°，
∵AB=1，∠P=30°，
∴AP=

3

AB=

3

；

（2）證明：連結(jié)OC、AC，如圖，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴△ACP為直角三角形，
∵D為AP的中點(diǎn)，
∴DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OCA+∠DAC=∠OAC+∠DAC，
即∠OCD=∠OAD=90°，
∴OC⊥DC，
∴直線CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理．