Question

過邊長為2的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于點E，Q為BC延長線上一點，當PA=CQ時，連接PQ交AC邊于點D，求DE的長．

Answer 1

分析：過P作BC的平行線交AC于F，通過求證△PFD和△QCD全等，推出FD=CD，再通過證明△APF是等邊三角形和PE⊥AC，推出AE=EF，即可推出AE+DC=EF+FD，可得ED=

1

2

AC，即可推出ED的長度．

解答：解：過P作BC的平行線交AC于F，
∴∠Q=∠FPD，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，
∴△APF是等邊三角形，
∴AP=PF，
∵AP=CQ，
∴PF=CQ，
∵在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠Q ∠PDF=∠QDC PF=CQ

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等邊三角形，
∴AE=EF，
∴AE+DC=EF+FD，
∴ED=

1

2

AC，
∵AC=2，
∴DE=1．
故DE的長為1．

點評：本題主要考查等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，關鍵在于正確地作出輔助線，熟練運用相關的性質(zhì)、定理，認真地進行計算．