Question

如圖，在△ABC中，∠A=45°，點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，BE=BC，BD=，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

Answer 1

4
分析：設(shè)AE=x（x＞0），BE=BC=y（y＞0），在Rt△BDE中，利用勾股定理可得x²+y²=87…①，在△ABC中，利用余弦定理可化簡(jiǎn)出y=x…②，聯(lián)合①②可求出x的值，繼而得出AC的長(zhǎng)．
解答：設(shè)AE=x（x＞0），BE=BC=y（y＞0），
∵∠A=45°，DE⊥AB，
∴AE=DE=x，
在Rt△BDE中，BD²=BE²+DE²，即x²+y²=87…①，
在Rt△ADE中，AD==x，
又∵D為AC中點(diǎn)，
∴AC=2x，
在△ABC中，由余弦定理得：BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cosA，
即y²=（x+y）²+8x²-2（x+y）×2x×，
整理得：5x²-2xy=0，
解得：y=x…②，
將②代入①得：x=2，
∴AC=2x=4．
故答案為：4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了余弦定理及勾股定理的知識(shí)，解答本題需要同學(xué)們掌握余弦定理的表達(dá)式，勾股定理的表達(dá)式，綜合性較強(qiáng)，注意將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．