(2013•順義區(qū)二模)已知拋物線(xiàn)y=3x2+mx-2
(1)求證:無(wú)論m為任何實(shí)數(shù),拋物線(xiàn)與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn).
(2)若m為整數(shù),當(dāng)關(guān)于x的方程3x2+mx-2=0的兩個(gè)有理根在-1與
4
3
之間(不包括-1、
4
3
)時(shí),求m的值.
(3)在(2)的條件下.將拋物線(xiàn)y=3x2+mx-2在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,得到一個(gè)新圖象G,再將圖象G向上平移n個(gè)單位,若圖象G與過(guò)點(diǎn)(0,3)且與x軸平行的直線(xiàn)有4個(gè)交點(diǎn),直接寫(xiě)出n的取值范圍
11
12
<n<3
11
12
<n<3
分析:(1)利用根的判別式大于0證明即可;
(2)用含有m的代數(shù)式表示方程的兩個(gè)根,然后列出不等式組,求解得到m的取值范圍,再根據(jù)方程的根是有理根求出m的值即可;
(3)求出拋物線(xiàn)頂點(diǎn)翻折后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)有4個(gè)交點(diǎn)確定出平移距離,從而得解.
解答:(1)證明:△=b2-4ac=m2-4×3×(-2)=m2+24,
∵m2≥0,
∴m2+24≥24,
∴無(wú)論m為任何實(shí)數(shù),方程3x2+mx-2=0總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
∴無(wú)論m為任何實(shí)數(shù),拋物線(xiàn)與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn);

(2)解:方程3x2+mx-2=0中,a=3,b=-m,c=-2,
x=
-b±
b2-4ac
2a
=
-m±
m2+24
6
,
∵兩個(gè)有理根在-1與
4
3
之間,
-m-
m2+24
6
>-1①
-m+
m2+24
6
4
3
,
由不等式①得,m+
m2+24
<6,
m2+24
<6-m,
兩邊平方得,m2+24<36-12m+m2,
解得m<1,
由不等式②得,-m+
m2+24
<8,
m2+24
<8+m,
兩邊平方得,m2+24<64+16m+m2
解得m>-
5
2
,
∴不等式組的解集是-
5
2
<m<,
∵m為整數(shù),
∴m=-2、-1、0,
又∵方程的根是有理數(shù)根,
∵m2+24是完全平方式,
∴m=-1;

(3)解:m=-1時(shí),拋物線(xiàn)為y=3x2-x-2,
∵-
b
2a
=-
-1
2×3
=
1
6
,
4ac-b2
4a
=
4×3×(-2)-(-1)2
4×3
=-
25
12

∴原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(
1
6
,-
25
12
),
沿x軸翻折后頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(
1
6
,
25
12
),
∵3-
25
12
=
11
12
,3-0=3,
11
12
<n<3.
故答案為:
11
12
<n<3.
點(diǎn)評(píng):本題是二次函數(shù)綜合題型,主要利用了根的判別式與根的情況,不等式的求解,平移變換,(2)難點(diǎn)在于整理為關(guān)于m的一元一次不等式,(3)關(guān)鍵在于求出原拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo).
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4
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