Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊順次為a、b、c，∠C=90°．若關(guān)于x的方程c（x²+1）-2

2

bx-a（x²-1）=0的兩根平方和為10，則

b

a

的值為______．

Answer 1

原方程整理為（c-a）x²-2

2

bx+（c+a）=0，
設(shè)x₁，x₂是方程的兩個(gè)根，則x₁²+x₂²=10，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，
把方程根公式代入，得
（

2 2 b

c-a

）²-2×

c+a

c-a

=10，即4b²-（c²-a²）=5（c-a）²，
由勾股定理得：c²-a²=b²，代入以上方程整理后有
3b²=5（c-a）²．
∵c是斜邊，
∴c＞a，兩邊開平方，得

3

b+

5

a=

5

c，
兩邊同時(shí)平方得，
3b²+5a²+2

15

ab=5c²，
再次將勾股定理代入得，
3b²+5a²+2

15

ab=5a²+5b²，
2b²=2

15

ab，
∴

b

a

=

15

．
故答案為：

15

．