Question

已知：如圖，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)M、N分別在兩邊AB和CD上（其中點(diǎn)N不與點(diǎn)C重合），沿直線MN折疊該紙片，點(diǎn)B恰好落在AD邊上點(diǎn)E處．
（1）設(shè)AE=x，四邊形AMND的面積為 S，求 S關(guān)于x 的函數(shù)解析式，并指明該函數(shù)的定義域；
（2）當(dāng)AM為何值時(shí)，四邊形AMND的面積最大？最大值是多少？
（3）點(diǎn)M能是AB邊上任意一點(diǎn)嗎？請(qǐng)求出AM的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)B和E關(guān)于MN對(duì)稱，得出ME=MB=4-AM，根據(jù)勾股定理得出AM²+AE²=ME²=（4-AM）²，求出AM，作MF⊥DN于F，推出∠FMN=∠ABE，根據(jù)AAS證Rt△FMN≌Rt△ABE，求出FN=AE=x，DN=2-

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8

x²+x，根據(jù)梯形面積公式求出即可；
（2）把S=-

1

8

x²+2x+8化成頂點(diǎn)式，即可求出答案；
（3）根據(jù)對(duì)稱求出BM=ME．根據(jù)AM＜EM，即可求出答案．

解答：解：（1）依題意，點(diǎn)B和E關(guān)于MN對(duì)稱，則ME=MB=4-AM，
由勾股定理得：AM²+AE²=ME²
即AM²+x²=（4-AM）²，
解得AM=2-

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8

x²，
作MF⊥DN于F，則MF=AB，且∠MFN=90°，∠BMF=90°，
∵沿直線MN折疊該紙片，點(diǎn)B恰好落在AD邊上點(diǎn)E處
∴MN⊥BE，
∴∠ABE=90°-∠BMN，
又∵∠FMN=∠BMF-∠BMN=90°-∠BMN，
∴∠FMN=∠ABE，
在△FMN和△ABE中

∠A=∠MFN AB=MF ∠ABE=∠FMN

，
∴Rt△FMN≌Rt△ABE（ASA），
∴FN=AE=x，DN=DF+FN=AM+x=2-

1

8

x²+x，
∴S=

1

2

（AM+DN）×AD，
=

1

2

×（2-

1

8

x²+2-

1

8

x²+x）×4，
=-

1

2

x²+2x+8．其中0≤x＜4，

（2）∵S=-

1

2

x²+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_最大=10，
此時(shí)，AM=2-

1

8

×2²=1.5，
答：當(dāng)AM=1.5時(shí)，四邊形AMND的面積最大，為10．

（3）不能．∵AM＜ME，BM=ME，
AM+BM=4，
∴2AM＜4，
∴AM＜2，
當(dāng)AM=2時(shí)，A和E重合，
∴AM的取值范圍是：0＜AM≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考差了二次函數(shù)及二次函數(shù)的最值，對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能用所學(xué)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，題目綜合性比較強(qiáng)，有一點(diǎn)難度，做此題用了方程思想．