Question

2010年春季，中國(guó)西南五省市遭遇世紀(jì)大旱，不少地方的村民飲用水告急，不得不半夜摸黑前往水源處排隊(duì)取水．如圖，一條東西走向的公路連接著相距30千米的A、B兩村莊，山洞C處有一出水口，位于A村莊北偏東58°方向，且位于B村莊北偏西24°方向．已知B、C之間也有公路連接，而A、C之間只有一條比較難走的山路．
（1）求山路AC的長(zhǎng)（精確到1千米）；
（2）家住A村莊的村民老李準(zhǔn)備用馬車到出水口C處取水，已知由A→B→C走公路平均每小時(shí)能走25千米，由A→C走山路平均每小時(shí)只能走18千米．如果僅從時(shí)間角度考慮，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算，幫老李確定走哪條路比較好？

Answer 1

分析：（1）作出AB邊上的高線CH，設(shè)AC=x，則在直角△ACH中，根據(jù)三角函數(shù)即可表示出AH，CH．同理在直角△CBH中，可以用CH表述出BH，根據(jù)AH+BH=AB，即可列出方程，即可求得AC的值．
（2）求出通過(guò)兩條路線所用的時(shí)間，即可進(jìn)行比較．

解答：解：（1）過(guò)C作CH⊥AB交AB與H點(diǎn)．
設(shè)AC=x，則AH=x•sin58°
CH=x•cos58°，
∴x•sin58°+x•cos58°•tan24°=30
∴x=

30

sin58°+cos58°•tan24°

≈28．
∴AC的長(zhǎng)約是28米．

（2）BC=

CH

cos24°

=

x•cos58°

cos24°

≈16米．
t₁=

30+16

25

≈1.8小時(shí)，
t₂=

28

18

≈1.6小時(shí)．
∵t₁＞t₂，
因而走A到C路線較好．

點(diǎn)評(píng)：一般三角形的問(wèn)題可以通過(guò)作高線轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題來(lái)解決．