Question

（2013•寧德質(zhì)檢）如圖，在△ABC中，AB=AC=6，點(diǎn)0為AC的中點(diǎn)，OE⊥AB于點(diǎn)E，OE=

3

2

，以點(diǎn)0為圓心，OA為半徑的圓交AB于點(diǎn)F．
（1）求AF的長(zhǎng)；
（2）連結(jié)FC，求tan∠FCB的值．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC=6，點(diǎn)0為AC的中點(diǎn)，OE⊥AB于點(diǎn)E，OE=

3

2

，可求得AE的長(zhǎng)，又由勾股定理，即可求得AE的長(zhǎng)，然后由垂徑定理，求得AF的長(zhǎng)；
（2）由AC是直徑，可求得∠AFC=90°，繼而可求得FB的長(zhǎng)，然后由三角函數(shù)的定義，求得答案．

解答：解：（1）∵點(diǎn)0為AC的中點(diǎn)，AC=6，
∴OA=3，
∵OE⊥AB，
∴在Rt△AOE中，AE=

OA2-OE2

=

32-( 3 2 )2

=

3

2

3

，
∵OE⊥AF，
∴AF=2AE，
∴AF=2×

3

2

3

=3

3

；

（2）∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AFC=90°，
∴CF=

AC2-AF2

=3，
又∵AC=AB=6，
∴FB=AB-AE=6-3

3

，
在Rt△CFB中，tan∠FCB=

FB

CF

，
∴tan∠FCB=

6-3 3

3

=2-

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．