Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點A（0，1），B（-4，4），將點B繞點A順時針方向90°得到點C；頂點在坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過點B．
（1）求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo)；
（2）拋物線上一動點P，設(shè)點P到x軸的距離為d₁，點P到點A的距離為d₂，試說明d₂=d₁+1；
（3）在（2）的條件下，請?zhí)骄慨?dāng)點P位于何處時，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式：y=ax²，
∵拋物線經(jīng)過點B（-4，4），
∴4=a•4²，解得a=，
所以拋物線的解析式為：y=x²；
過點B作BE⊥y軸于E，過點C作CD⊥y軸于D，如圖，
∵點B繞點A順時針方向90°得到點C，
∴Rt△BAE≌Rt△ACD，
∴AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，
∴OD=AD+OA=5，
∴C點坐標(biāo)為（3，5）；

（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，如圖，
∵點P在拋物線y=x²上，
∴b=a²，
∴d₁=a²，
∵AF=OF-OA=PH-OA=d₁-1=a²-1，PF=a，
在Rt△PAF中，PA=d₂==
=a²+1，
∴d₂=d₁+1；

（3）作直線y=1，過C點作y=1 的垂線，交拋物線于P點，則P即為所求的點．
由（1）得AC=5，
∴△PAC的周長=PC+PA+5
=PC+PH+6，
要使PC+PH最小，則C、P、H三點共線，
∴此時P點的橫坐標(biāo)為3，把x=3代入y=x²，得到y(tǒng)=，
即P點坐標(biāo)為（3，），此時PC+PH=5，
∴△PAC的周長的最小值=5+6=11．
分析：（1）設(shè)拋物線的解析式：y=ax²，把B（-4，4）代入即可得到a的值；過點B作BE⊥y軸于E，過點C作CD⊥y軸于D，易證Rt△BAE≌Rt△ACD，得到AD=BE=4，CD=AE=OE-OA=4-1=3，即可得到C點坐標(biāo)（3，5）；
（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（a，b），過P作PF⊥y軸于F，PH⊥x軸于H，則有d₁=a²，又AF=OF-OA=PH-OA=d₁-1=a²-1，PF=a，在Rt△PAF中，利用勾股定理得到PA=d₂=a²+1，
即有結(jié)論d₂=d₁+1；
（3）△PAC的周長=PC+PA+5，由（2）得到△PAC的周長=PC+PH+6，要使PC+PH最小，則C、P、H三點共線，P點坐標(biāo)為（3，），此時PC+PH=5，得到△PAC的周長的最小值=5+6=11．
點評：本題考查了點在拋物線上，點的橫縱坐標(biāo)滿足二次函數(shù)的解析式和頂點在原點的二次函數(shù)的解析式為：y=ax²；也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理以及兩點之間線段最短．