Question

現(xiàn)有一形如直角三角板的三角形ABC（如圖1），其中∠C=90°，∠A=45°，該三角形內(nèi)有一個半徑為1cm的⊙O，圓心O到三邊的距離均為cm．將△ABC繞點(diǎn)C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α （0°＜α≤90°），旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△EFC，⊙O記為⊙P．
（1）當(dāng)α=45°時（如圖2），試判斷EF與CB的位置關(guān)系并說明理由；
（2）當(dāng)⊙P與⊙O相外切時（如圖3），①求旋轉(zhuǎn)角α；②求⊙P掃過的面積；
（3）當(dāng)CF與⊙O相切時，則sinα=______

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的銳角是45°，旋轉(zhuǎn)角是45°，即可得到∠F=∠FCB，從而判斷EF∥BC；
（2）①根據(jù)兩圓外切的性質(zhì)：圓心距等于半徑的和，即可求得OP的長，求得OC的長，則△OPC的形狀即可判斷，從而求得旋轉(zhuǎn)角；
②根據(jù)⊙P掃過的面積S=S_扇形CIJ-S_扇形CGH+S_⊙O，利用扇形的計算公式和圓的面積公式即可求解；
（3）首先求得旋轉(zhuǎn)角，即可得到．
解答：解：（1）EF∥CB．
理由：∵當(dāng)α=45時，∠F=∠FCB，
∴EF∥CB；                         

（2）連接CO、CP，作OM⊥BC于M．
在直角△OCM中，OM=，∠OCM=45°，
則OC=2，則OC=CP=2，
①∵當(dāng)⊙P與⊙O相外切時，OP=2cm，
∴CO=CP=OP
∴∠PCO=60°
∴旋轉(zhuǎn)α=60°
②S_扇形CIJ-S_扇形CGH=
則S=S_扇形CIJ-S_扇形CGH+S_⊙O=；

（3）當(dāng)如圖（1）時，作PN⊥AC，
則在直角△PNC中，
∵PN=1，CP=2，
∴∠PCN=30°，
∵∠ACO=45°，
∴∠PCO=75°，即α=75°
則sinα=sin75°=；
當(dāng)如圖（2）時，連接OC、PC，設(shè)⊙P與AC切于點(diǎn)Q，連接PQ．
則∠ACP=30°，∠ACO=45°，
因而旋轉(zhuǎn)角α=∠ACO-∠ACP=15°，
則sinα=sin15°=．
故答案是：或．
點(diǎn)評：本題考查了扇形的面積公式，切線的性質(zhì)，以及三角函數(shù)，正確作出（3）中的兩種情況的圖形，求得旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是關(guān)鍵．