Question

如圖1，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點（B在A的左側(cè)），頂點為C，點D（1，m）在此二次函數(shù)圖象的對稱軸上，過點D作y軸的垂線，交對稱軸右側(cè)的拋物線于E點．
（1）求此二次函數(shù)的解析式和點C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點D的坐標(biāo)為（1，1）時，連接BD、BE．求證：BE平分∠ABD；
（3）點G在拋物線的對稱軸上且位于第一象限，若以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似，求點E的橫坐標(biāo)．

Answer 1

（1）解：∵點D（1，m）在圖象的對稱軸上，
∴．
∴b=-2．
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴C（1，-4）；

（2）證明：∵D（1，1），且DE垂直于y軸，
∴點E的縱坐標(biāo)為1，DE平行于x軸．
∴∠DEB=∠EBO．
令y=1，則x²-2x-3=1，
解得：．
∵點E位于對稱軸右側(cè)，
∴E．
∴DE=．
令y=0，則x²-2x-3=0，求得點A的坐標(biāo)為（3，0），點B的坐標(biāo)為（-1，0）．
∴BD=．
∴BD=DE．
∴∠DEB=∠DBE．
∴∠DBE=∠EBO．
∴BE平分∠ABD．

（3）解：∵以A、C、G為頂點的三角形與以G、D、E為頂點的三角形相似，
且△GDE為直角三角形，
∴△ACG為直角三角形．
∵G在拋物線對稱軸上且位于第一象限，
∴∠CAG=90°．
∵A（3，0）C（1，-4），AF⊥CG，
∴求得G點坐標(biāo)為（1，1）．
∴AG=，AC=．
∴AC=2AG．
∴GD=2DE或DE=2GD．
設(shè)E（t，t²-2t-3）（t＞1），
①當(dāng)點D在點G的上方時，則DE=t-1，
GD=（t²-2t-3）-1=t²-2t-4．
i．如圖2，當(dāng)GD=2DE時，
則有，t²-2t-4=2（t-1）．
解得，．（舍負(fù)）
ii．如圖3，當(dāng)DE=2GD時，
則有，t-1=2（t²-2t-4）．
解得，．（舍負(fù)）
②當(dāng)點D在點G的下方時，則DE=t-1，
GD=1-（t²-2t-3）=-t²+2t+4．
i．如圖4，當(dāng)GD=2DE時，
則有，-t²+2t+4=2（t-1）．
解得，．（舍負(fù)）
ii．如圖5，當(dāng)DE=2GD時，
則有，t-1=2（-t²+2t+4）．
解得，．（舍負(fù)） 
綜上，E點的橫坐標(biāo)為或或或3．
分析：（1）利用點D（1，m）在此二次函數(shù)圖象的對稱軸上得出b的值，再利用配方法求出頂點坐標(biāo)即可；
（2）首先得出E點坐標(biāo)，進而得出BD=DE，即可得出BE平分∠ABD；
（3）利用①當(dāng)點D在點G的上方時，②當(dāng)點D在點G的下方時分別分類討論得出即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，利用分類討論得出E點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．