Question

如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結(jié)論：①AF=DE，②AF⊥DE（不須證明）．

（1）如圖②，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF，則上面的結(jié)論①、②是否仍然成立；（請直接回答“成立”或“不成立”）

（2）如圖③，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CB的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結(jié)論①、②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．

（3）如圖④，在（2）的基礎(chǔ)上，連接AE和EF，若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請先判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種，并寫出證明過程．

Answer 1

（1）結(jié)論①、②成立；（2）結(jié)論①、②仍然成立．理由見解析；（3）四邊形MNPQ是正方形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△DEC≌△AFD即可知道結(jié)論成立．

（2）由已知得四邊形ABCD為正方形，證明Rt△ADF≌Rt△ECD，然后推出∠ADE+∠DAF=90°；進(jìn)而得出AF⊥DE；

（3）首先根據(jù)題意證明四邊形MNPQ是菱形，然后又因為AF⊥DE，得出四邊形MNPQ為正方形．

試題解析：（1）∵DF=CE，AD=DC，且∠ADF=∠DCE，

∴△DEC≌△AFD；

∴結(jié)論①、②成立

（2）結(jié)論①、②仍然成立．理由為：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=DC=CB且∠ADC=∠DCB=90°，

在Rt△ADF和Rt△ECD中

，

∴Rt△ADF≌Rt△ECD（SAS），

∴AF=DE，

∴∠DAF=∠CDE，

∵∠ADE+∠CDE=90°，

∴∠ADE+∠DAF=90°，

∴∠AGD=90°，

∴AF⊥DE；

（3）結(jié)論：四邊形MNPQ是正方形

證明：∵AM=ME，AQ=QD，

∴MQ∥DE且MQ=DE，

同理可證：PN∥DE，PN=DE；MN∥AF，MN=AF；PQ∥AF，PQ=AF；

∵AF=DE，

∴MN=NP=PQ=QM，

∴四邊形MNPQ是菱形，

又∵AF⊥DE，

∴∠MQP=90°，

∴四邊形MNPQ是正方形．

考點：1.正方形的性質(zhì)；2.直角三角形全等的判定；3.正方形的判定．