Question

（2009•撫順）已知：如圖所示，關(guān)于x的拋物線y=ax²+x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形ABDC為等腰梯形，寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并求出直線AD的解析式；
（3）在（2）中的直線AD交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)M，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，x軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q．是否存在以A、M、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，可求出拋物線的解析式．進(jìn)而求出對(duì)稱軸的解析式和定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）由于二次函數(shù)和等腰梯形都是軸對(duì)稱圖形，可根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸和C點(diǎn)的坐標(biāo)求出D的坐標(biāo)．然后用待定系數(shù)法求出A，D所在直線的解析式．


（3）分五種情況進(jìn)行討論：
①如圖1，P與M的縱坐標(biāo)相等，可將M的縱坐標(biāo)代入拋物線中求出P的坐標(biāo)，然后可根據(jù)M，P的橫坐標(biāo)求出MP的長(zhǎng)，即AQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)A的坐標(biāo)即可求出Q的坐標(biāo)．
②如圖2，方法同①．
③如圖3，根據(jù)平行四邊形的對(duì)稱性，那么M，P的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此可求出P的坐標(biāo)，可先在三角形AOM中求出AO的長(zhǎng)，然后A到拋物線對(duì)稱軸的長(zhǎng)+P的橫坐標(biāo)=Q的橫坐標(biāo)，據(jù)此可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．
④如圖4，可參照③的方法求出P的坐標(biāo)，然后求出PA的長(zhǎng)，即MQ的長(zhǎng)，然后可過(guò)D作x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建直角三角形求出OQ的長(zhǎng)．進(jìn)而得出Q的坐標(biāo)．
⑤根據(jù)題意畫出圖形，即可求出答案．
解答：解：（1）根據(jù)題意，得，
解得，
∴拋物線的解析式為，
頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，4）；

（2）D（4，3），
設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0）、點(diǎn)D（4，3），
∴，
∴，
∴y=x+1；

（3）存在．
①如圖1，P與M的縱坐標(biāo)相等，可將M的縱坐標(biāo)代入拋物線中求出P的坐標(biāo)，然后可根據(jù)M，P的橫坐標(biāo)求出MP的長(zhǎng)，即AQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)A的坐標(biāo)即可求出Q的坐標(biāo)：Q₁（2-2，0）；
②如圖2，方法同①，Q₂（-2-2，0）；
③如圖3，根據(jù)平行四邊形的對(duì)稱性，那么M，P的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，因此可求出P的坐標(biāo)，可先在三角形AOM中求出AO的長(zhǎng)，然后A到拋物線對(duì)稱軸的長(zhǎng)+P的橫坐標(biāo)=Q的橫坐標(biāo)，據(jù)此可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)：Q₃（6-2，0）；
④如圖4，可參照③的方法求出P的坐標(biāo)，然后求出PA的長(zhǎng)，即MQ的長(zhǎng)，然后可過(guò)D作x軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建直角三角形求出OQ的長(zhǎng)．進(jìn)而得出Q的坐標(biāo)：Q₄（6+2，0）．
⑤以AM為對(duì)角線時(shí)，把x=2代入y=x+1得y=2，
即M的坐標(biāo)是（2，2），
過(guò)M作x軸的平行線交拋物線與P₅、P₆，
則這兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2，
把y=2代入y=-x²+x+3得：y=-x²+x+3=2，
解得：x=2±2，
即P₅（2-2，2），P₆（2+2，2），
∴Q₅的坐標(biāo)是（2-2，0），Q₆的坐標(biāo)是（-2-2，0）．
綜上所述：Q₁（2-2，0），Q₂（-2-2，0），Q₃（6-2，0），Q₄（6+2，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，（1）（2）比較簡(jiǎn)單，要注意的是（3）中要把所有的情況都考慮到不要漏解．