Question

如圖1，矩形CEFG的一邊落在矩形ABCD的一邊上，并且矩形CEFG～CDAB，其相似比為k，連接BG、DE．

（1）試探究BG、DE的位置關系，并說明理由；
（2）將矩形CEFG繞著點C按順時針（或逆時針）旋轉任意角度α，得到圖形2、圖形3，請你通過觀察、分析、判斷（1）中得到的結論是否能成立，并選取圖2證明你的判斷；
（3）在（2）中，矩形CEFG繞著點C旋轉過程中，連接BD、BF、DF，且k=，AB=8，BC=4，△BDF的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形CEFG～矩形CDAB可以得出∠BCD=∠DCE=90°，，從而可以得到△BCG∽△DCE，再利用角相等通過代換就可以得出結論；
（2）由條件可以得出證明△BCG∽△DCE，再利用角相等通過代換就可以得出結論；
（3）矩形CEFG繞著點C旋轉一周，點F的軌跡是以點C為圓心以為半徑的圓，所以△BDF的BD邊上的高就是點F到BD的距離，也就是BD到圓上的點的距離，有最大值和最小值，最大值為點C到BD的距離與圓的半徑的和，最小值為點C到BD的距離與圓的半徑的差，再利用三角形的面積公式求解即可．
解答：解：（1）BG⊥DE，理由如下：
如圖1，∵矩形CEFG～矩形CDAB，
∴∠BCD=∠DCE=90°，，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE．
延長BG交DE于M．
又∵∠CGB=∠DGM，
∴∠BCG=∠DMG=90°，
∴BG⊥DE；

（2）BG⊥DE仍然成立，理由如下：
如圖2，∵矩形CEFG～矩形CDAB，
∴∠BCD=∠GCE=90°，，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（3）△BDF的面積是否存在最大值與最小值．理由如下：
∵矩形CEFG～CDAB，其相似比k=，BD==4，
∴CF=，
∴點F的軌跡是以點C為圓心，為半徑的圓．
設點C到BD的距離為h，
∴4h=8×4，
解得h=，
∴當點F到BD的距離為+=時，△BDF的面積有最大值，
當點F到BD的距離為-=時，△BDF的面積有最小值，
S_最大=×4×=26，
S_最小═×4×=6．
點評：本題主要考查了旋轉的性質，相似多邊形的性質，相似三角形的判定與性質，圓上的點到直線的距離的取值范圍，綜合性較強，有一定難度．