Question

如圖，過(guò)線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作射線AM、BN，使AM∥BN，按下列要求畫(huà)圖并回答：
（1）畫(huà)∠MAB、∠NBA的平分線交于E，∠AEB是什么角？
（2）過(guò)點(diǎn)E作一直線交AM于D，交BN于C，觀察線段DE、CE，你有何發(fā)現(xiàn)？
（3）無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng)，只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，AD+BC的值是否有變化？并說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵AM∥BN，
∴∠MAB+∠ABN=180°，
又AE，BE分別為∠MAB、∠NBA的平分線，
∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，
∴∠AEB=180°-∠1-∠3=90°，
即∠AEB為直角；

（2）過(guò)E點(diǎn)作輔助線EF使其平行于AM，
∵AM∥BN，EF∥BC，
∴EF∥AD∥BC，
∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，
∵∠3=∠4，∠1=∠2，
∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，
∴AF=FE=FB，
∴F為AB的中點(diǎn)，又EF∥AD∥BC，
根據(jù)平行線等分線段定理得到E為DC中點(diǎn)，
∴ED=EC；

（3）由（2）中結(jié)論可知，無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng)，只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，
總滿足EF為梯形ABCD中位線的條件，所以總有AD+BC=2EF=AB．
分析：（1）由兩直線平行同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，及角平分線的性質(zhì)不難得出∠1+∠3=90°，再由三角形內(nèi)角和等于180°，即可得出∠AEB是直角的結(jié)論；
（2）過(guò)E點(diǎn)作輔助線EF使其平行于AM，由平行線的性質(zhì)可得出各角之間的關(guān)系，進(jìn)一步求出邊之間的關(guān)系；
（3）由（2）中得出的結(jié)論可知EF為梯形ABCD的中位線，可知無(wú)論DC的兩端點(diǎn)在AM、BN如何移動(dòng)，只要DC經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，AD+BC的值總為一定值．
點(diǎn)評(píng)：本題是計(jì)算與作圖相結(jié)合的探索．對(duì)學(xué)生運(yùn)用作圖工具的能力，以及運(yùn)用直角三角形、等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，及梯形中位線等基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力都有較高的要求．