Question

如圖，ABCD為直角梯形（∠B=∠C=90°），且AB=BC，若在邊BC上存在一點(diǎn)M，使得△AMD為等邊三角形，則

CD

AB

的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直角梯形,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：首先過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，易得四邊形DHBC是矩形，即可得DH=BC=AB，BH=DC，然后設(shè)CD=x，AB=BC=DH=y，CM=z，在Rt△CDM，Rt△ABM，Rt△ADH中，由勾股定理可得方程組：x²+z²=y²+（y-z）²，y²+（y-z）²=y²+（y-x）²，即可得x²=2y²-2yx，然后方程兩邊同除以y²，即可得方程（

x

y

）²+

2x

y

-2=0，解此方程即可求得

CD

AB

的值．

解答：解：過點(diǎn)D作DH⊥AB于H，
則∠DHA=90°，
∵∠B=∠C=90°
∴四邊形DHBC是矩形，
∴DH=BC，BH=DC，
∵BC=AB，
∴DH=BC=AB，
設(shè)CD=x，AB=BC=DH=y，CM=z，
在Rt△CDM，Rt△ABM，Rt△ADH中，
DM²=CD²+CM²，①
AM²=AB²+BM²，②
AD²=AH²+DH²，③
當(dāng)DM=AM=AD時(shí)，△AMD為等邊三角形，
則CD²+CM²=AB²+BM²，
AB²+BM²=AH²+DH²，
即x²+z²=y²+（y-z）²④，
y²+（y-z）²=y²+（y-x）²⑤，
化簡④得：x²=2y²-2yz，
化簡⑤得：x=z，
∴x²=2y²-2yx，
即（

x

y

）²+

2x

y

-2=0，
解得：

x

y

=

3

-1，

x

y

=-

3

-1（舍去）．
故

CD

AB

的值為

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)以及方程組的應(yīng)用．此題難度較大，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用勾股定理得方程組，化簡求得（

x

y

）²+

2x

y

-2=0是解此題的關(guān)鍵．