Question

如圖⊙O₁、⊙O₂點外切于點A，外公切線BC與⊙O₁切于點B，與⊙O₂切于點C，與O₂O₁的延長線交于點P，已知∠P=30度．
（1）求⊙O₁與⊙O₂半徑的比；
（2）若⊙O₁半徑為2m，求弧AB、弧AC及外公切線BC所圍成的圖形（陰影部分）的面積．

Answer 1

解：（1）連接O₁B，O₂C，
∠P=30°，
∴PO₁=2r，PO₂=2R，
∴2R=2r+r+R
R=3r
∴3r=R，
∴r：R=1：3；

（2）∠P=30°，
∴∠AO₁B=120°，
∴弧AB==，弧AC==2π；
利用勾股定理可知：BP==2，PC==6，∴BC=4；
S_陰影=S_梯形O1O2CB-S_扇形O1AB-S_扇形O2AC=（2+6）×4÷2--6π=16-．
分析：（1）求⊙O₁與⊙O₂半徑的比，就要讓兩半徑建立聯(lián)系，連接O₁B，O₂C，可在Rt△PBO₁，Rt△PCO₂中利用直角三角形中的邊與邊的關(guān)系求出半徑的比．題中∠P=30°，可知O₁B=2r，O₂C=2R，由此可知3r=R，即可得出兩圓的半徑比．
（2）求出弧所對的圓心角，利用弧長公式計算即可．陰影部分的面積=梯形的面積-兩個扇形的面積．
點評：本題綜合考查了解直角三角形和弧長公式及扇形的面積公式等知識點．