Question

已知：如圖，拋物線(xiàn)y=

1

3

x²-bx-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交拋物線(xiàn)于N點(diǎn)，且點(diǎn)N到x軸的距離為4，
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙M交y軸于另一點(diǎn)D，連接DM并延長(zhǎng)交⊙M于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)的⊙M的切線(xiàn)分別交x軸，y軸于點(diǎn)F、G，求直線(xiàn)FG的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)P為弧CBD上的動(dòng)點(diǎn)（P不與C、D重合），連接PA交y軸于點(diǎn)H，給出以下兩個(gè)結(jié)論：①AH•AP為定值；②

AH

AP

為定值，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)判斷正確的結(jié)論，并求出其值．

Answer 1

分析：（1）由題意：線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交拋物線(xiàn)于N點(diǎn)，那么點(diǎn)N必為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，而N到x軸的距離為4，結(jié)合圖形可知N點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，利用公式法即可求出b的值，然后根據(jù)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置，將不合題意的b值舍去，即可求得該拋物線(xiàn)的解析式．
（2）根據(jù)（1）所得拋物線(xiàn)的解析式，易求得A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到OA、OB、OC的長(zhǎng)，可求得∠OAC=60°，∠OBC=30°，即∠ACB=90°，由此可推出AB是⊙M的直徑，即M是AB的中點(diǎn)，那么DE也為⊙M的直徑，若連接CE，則CE⊥DC，即CE∥x軸，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；根據(jù)圓的對(duì)稱(chēng)性知C、D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，由此可得到D點(diǎn)的坐標(biāo)，易求得OM、OD的長(zhǎng)，即可得出∠ODM=∠OBC=30°，從而證得DE⊥BC，即BC∥FG，直線(xiàn)BC的解析式易求得，即可得到直線(xiàn)FG的斜率，將已求的點(diǎn)E坐標(biāo)代入上式，即可確定出直線(xiàn)FG的解析式．
（3）①的結(jié)論是正確的．可設(shè)AH=x，AP=y，在Rt△AOH中，由勾股定理易求得OH=

x2-3

，由相交弦定理知：AH•HP=DH•CH，將各線(xiàn)段的數(shù)值（或表達(dá)式）代入上式，即可求得AH•AP的值．
（另一種解法，連接CP，通過(guò)證△ACH∽△APC，利用相似三角形的比例線(xiàn)段來(lái)證明．）

解答：解：（1）由題意知：N點(diǎn)為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，且縱坐標(biāo)為-4；
則有：

4×(- 1 3 )×3-b2

4×(- 1 3 )

=-4，
解得b=±

2 3

3

；
由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，
故b=

2 3

3

不合題意，舍去；
∴該拋物線(xiàn)的解析式為：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3．

（2）易知：A（-

3

，0），B（3

3

，0），C（0，-3），D（0，3）；
則OA=

3

，OB=3

3

，OC=3，OD=3；
Rt△OAC中，OA=

3

，OC=3，則∠OAC=60°，∠OCA=30°；
同理可證：∠ODM=∠OCA=∠OBC=30°，
∴∠ACB=90°，AB為⊙M的直徑；
∵CE過(guò)點(diǎn)M，則CE是⊙M的直徑，
∴連接CE，那么∠DCE=90°，
故CE∥x軸，C、E關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，
則E（2

3

，-3）；
已證∠ODM=∠OCA=30°，則AC∥DE，
而∠ACB=90°，
所以DE⊥BC；
∵EF是⊙M的切線(xiàn)，
∴CE⊥FG，
故FG∥BC；
由B（3

3

，0），C（0，-3），易求得直線(xiàn)BC：y=

3

3

x-3，
設(shè)直線(xiàn)FG的解析式為：y=

3

3

x+h，將E點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得：

3

3

×2

3

+h=-3，h=-5；
∴直線(xiàn)FG的解析式為：y=

3

3

x-5．

（3）∵D（0，-3），C（0，3），A（-

3

，0），
∴OC=OD=3，OA=

3

；
設(shè)AH=x，AP=y；
在Rt△AOH中，由勾股定理可得：OH=

x2-3

；
由相交弦定理知：AH•HP=DH•CH，即：
x（y-x）=（3+

x2-3

）（3-

x2-3

），
整理得：xy=12．
故①的結(jié)論正確，AH•AP為定值，其值為12．

點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)與圓的綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、圓周角定理、解直角三角形、平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)、相交弦定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．