Question

如圖，正方形CGEF的對(duì)角線CE在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上（CG＞BC），M是線段AE的中點(diǎn)，DM的延長(zhǎng)線交CE于N．
（1）線段AD與NE相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）探究：線段MD、MF的關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

解：（1）AD=NE．理由如下：
根據(jù)題意，知AD∥BC．
∴∠EAD=∠AEN（內(nèi)錯(cuò)角相等），
∵∠DMA=∠NME（對(duì)頂角相等），
又∵M(jìn)是線段AE的中點(diǎn)，
∴AM=ME．
∴△ADM≌△ENM（ASA）．
∴AD=NE（對(duì)應(yīng)邊相等）．

（2）MD⊥MF，且MD=MF
證明：連接DF，F(xiàn)N，
由CE是正方形的對(duì)角線，得到∠DCF=∠NEF=45°，
根據(jù)上題可知線段AD=NE，
又∵四邊形CGEF是正方形，
∴FC=FE．
在△DCF和△NEF中，
，
∴△DCF≌△NEF（SAS）．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，
∴△FDN是等腰三角形，
又∵∠CFN+∠EFN=90°，
∴∠DFC+∠CFN=90°，即∠DFN=90°，
∴△FDN為等腰直角三角形，
∵在題（1）中已證明△ADM≌△ENM，
∴DM=MN．
∴MD⊥MF．
分析：（1）根據(jù)已知條件證明△ADM≌△ENM，從而證明線段AD與線段NE相等．
（2）根據(jù)已知條件證明△DCF≌△NEF，證明出線段DF與線段FN相等，從而證出△FDN為等腰三角形，再根據(jù)題（1）中已證明△ADM≌△ENM，所以DM=MN．進(jìn)而求出線段MD、MF的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：解答本題的關(guān)鍵是利用正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理來(lái)判定三角形全等，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)來(lái)解答問(wèn)題．