Question

如圖，點(diǎn)B，A分別在x，y軸的正半軸上，AB=m，且AP：PB=2：1，點(diǎn)B在x軸的正半軸上移動(dòng)，線段AB的長(zhǎng)保持不變．
（1）求△POB的面積最大值；
（2）當(dāng)△POB的面積最大時(shí)，△AOB為何種三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)OA=a，OB=b，由AP：PB=2：1，可得S_△POB=

1

2

S_△AOB，只要確定△AOB的面積最大值，即可得出△POB的面積最大值．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，可得出a、b的關(guān)系，繼而可得出答案．

解答：解：（1）設(shè)OA=a，OB=b，則a²+b²=m²，
∵a²+b²-2ab≥0，
∴ab≤

a2+b2

2

，
∴△AOB的面積最大值為

1

2

ab=

a2+b2

4

=

m2

4

，
∴△POB的面積最大值=

1

3

S_△AOB=

m2

12

．

（2）當(dāng)ab=

a2+b2

2

時(shí)，可得（a-b）²=0，
即a=b，
故當(dāng)△POB的面積最大時(shí)，△AOB為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，解答本題的關(guān)鍵是利用a²+b²-2ab≥0，這一重要不等關(guān)系，同學(xué)們注意將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．