Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（2，0），B（6，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若此拋物線的對(duì)稱軸與直線y=2x交于點(diǎn)D，作⊙D與x軸相切，⊙D交y軸于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，求劣弧EF的長(zhǎng)；

（3）P為此拋物線在第二象限圖象上的一點(diǎn)，PG垂直于x軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得△PGA的面積被直線AC分為1：2兩部分？

武昌部分學(xué)校九年級(jí)聯(lián)考

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（2，0），B（6，0），；

∴，

解得；

∴拋物線的解析式為：；（3分）

（2）易知拋物線的對(duì)稱軸是x=4，

把x=4代入y=2x，得y=8，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，8）；

∵⊙D與x軸相切，∴⊙D的半徑為8；（1分）

連接DE、DF，作DM⊥y軸，垂足為點(diǎn)M；

在Rt△MFD中，FD=8，MD=4，

∴∠MDF=60°，

∴∠EDF=120°；（2分）

∴劣弧EF的長(zhǎng)為：；（1分）

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b；

∵直線AC經(jīng)過點(diǎn)，

∴，

解得；

∴直線AC的解析式為：；（1分）

設(shè)點(diǎn)，PG交直線AC于N，

則點(diǎn)N坐標(biāo)為，

∵S_△PNA：S_△GNA=PN：GN；

∴①若PN：GN=1：2，則PG：GN=3：2，PG=GN；

即=；

解得：m₁=﹣3，m₂=2（舍去）；

當(dāng)m=﹣3時(shí)，=；

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（2分）

②若PN：GN=2：1，則PG：GN=3：1，PG=3GN；

即=；

解得：m₁=﹣12，m₂=2（舍去）；

當(dāng)m=﹣12時(shí)，=；

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為或時(shí)，△PGA的面積被直線AC分成1：2兩部分．（2分）