Question

如圖，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （2，4）；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）直接寫出該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以每秒1個(gè)單位長度的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿射線AB勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）．
①填空：當(dāng)0＜t≤3時(shí)，PN=

-t²+3t

．（用含t的代數(shù)式表示）；
②在運(yùn)動(dòng)的過程中，以P、N、C、D為頂點(diǎn)的四邊形能否成為平行四邊形？若能，請求出此時(shí)t的值，若不能，請說明理由．
③設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問S是否存在最小值？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)過（0，0）且其頂點(diǎn)為（2，4），故設(shè)函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-2）²+4，將點(diǎn)（0，0）代入解析式即可求出a的值，從而的到函數(shù)解析式；
（2）①根據(jù)解析式求出N的縱坐標(biāo)，減去P的縱坐標(biāo)即可求出PN的表達(dá)式；②由于PN∥CD，可知點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PN=CD=3時(shí)，四邊形PNCD即成為平行四邊形．當(dāng)t＞3時(shí)，PN=t²-3t，轉(zhuǎn)化為方程t²-3t=3，求出函數(shù)解析式即可．
（3）（i）當(dāng)PN=0，即t=3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，求出三角形的高即可；（ⅱ）當(dāng)PN≠0時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題解答．

解答：解：（1）設(shè)所求函數(shù)關(guān)系式為y=a（x-2）²+4，
把（0，0）代入解析式得a（0-2）²+4=0，
解得，a=-1，
故函數(shù)解析式為y=-（x-2）²+4，
整理得y=-x²+4x．

（2）①∵N點(diǎn)縱坐標(biāo)為-x²+4x，當(dāng)x=t時(shí)，
AN=-t²+4t，
則PN=AN-AP=-t²+4t-t=-t²+3t．
②能成為平行四邊形． 理由如下：
∵PN∥CD，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到PN=CD=3時(shí)，四邊形PNCD即成為平行四邊形．
∵點(diǎn)A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上，
∴OA=AP=t．
∴點(diǎn)P，N的坐標(biāo)分別為（t，t）、（t，-t²+4t），
當(dāng)0＜t≤3時(shí)，PN=-t²+3t，
∴-t²+3t=3．
此方程沒有實(shí)數(shù)根．
當(dāng)t＞3時(shí)，PN=t²-3t，
∴t²-3t=3．
解得，t₁=

3+ 21

2

，t₂=

3- 21

2

（舍去）．
∴以P、N、C、D為頂點(diǎn)的四邊形能成為平行四邊形，此時(shí)，t=

3+ 21

2

．
③S存在最小值． 理由如下：
（ⅰ）當(dāng)PN=0，即t=3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是三角形，此三角形的高為AD，
∴S=

1

2

DC•AD=

1

2

×3×2=3．
（ⅱ）當(dāng)PN≠0時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形是四邊形．
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴當(dāng)0＜t＜3時(shí)，S=

1

2

（CD+PN）•AD
=

1

2

[3+（-t²+3 t）]×2
=-t²+3 t+3
=-（t-

3

2

）²+

21

4

，其中（0＜t＜3），
由a=-1，0＜

3

2

＜3，
此時(shí)S_最大=

21

4

．
當(dāng)t=3時(shí)，S_最小=3．
∴當(dāng)t＞3時(shí)，S=

1

2

（CD+PN）•AD
=

1

2

[3+（t²-3 t）]×2
=t²-3t+3
=（t-

3

2

）²+

3

4

．
∴當(dāng)t=3時(shí)，S_最小=3．
綜上所述，當(dāng)t=3時(shí)，以點(diǎn)P，N，C，D為頂點(diǎn)的多邊形面積有最小值，
這個(gè)最小值為3．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及動(dòng)點(diǎn)問題、二次函數(shù)最值、平行四邊形的判定與性質(zhì)等問題，難度較大，是一道好題．