Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（6，1）、（6，3），C、D在y軸上，點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿AD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)M作MP⊥AD，交BD于點(diǎn)P，連接NP，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)了t秒．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)了t秒時(shí)，△NPB的面積S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；
（3）當(dāng)S取最大值時(shí)，將矩形ABCD向上平移1個(gè)單位（如圖2），此時(shí)，若點(diǎn)Q在x軸上，且△QBM是以MB為腰的等腰三角形時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)t=1時(shí)，AM=3×1=3，得到M點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，則P點(diǎn)為DB的中點(diǎn)，即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）；
（2）延長MP交BC于H，由AM=3t，CN=t，得到BN=6-t，BH=3t，利用△BHP∽△BCD，通過相似比可求出PH=t，根據(jù)三角形的面積公式表示出S=-

1

2

（t-3）²+

9

2

（0≤t≤2），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)t=2時(shí)，S最大，最大值為4；
（3）根據(jù)題意得到點(diǎn)M與D點(diǎn)重合，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2），由勾股定理得到BM=

62+22

=2

10

，△QBM是以MB為腰的等腰三角形時(shí)，討論：MB=MQ；BM=BQ．延長BA交x軸于G點(diǎn)，連DG，則△MGB為等腰直角三角形，Q點(diǎn)在G點(diǎn)，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）；再利用勾股定理可求出Q′G，從而得到OQ′，即可得到Q′的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)t=1時(shí)，AM=3×1=3，
∴M點(diǎn)為AD的中點(diǎn)，
∵M(jìn)P⊥AD，
∴P點(diǎn)為DB的中點(diǎn)，
而A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，1），四邊形ABCD為矩形，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
又∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，3），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2）；

（2）延長MP交BC于H，如圖，
∵AM=3t，CN=t，
∴BN=6-t，BH=3t，
又∵PH∥CD，
∴△BHP∽△BCD，
∴

HP

DC

=

BH

BC

，即

3t

6

=

PH

2

，
∴PH=t，
∴S=

1

2

•t（6-t）
=-

1

2

（t-3）²+

9

2

（0≤t≤2）
∴當(dāng)t=2時(shí)，S最大，最大值為4；

（3）當(dāng)S取最大值時(shí)，將矩形ABCD向上平移1個(gè)單位，
∴點(diǎn)M與D點(diǎn)重合，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（6，4），A點(diǎn)坐標(biāo)為（6，2），
∴BM=

62+22

=2

10

，
延長BA交x軸于G點(diǎn)，連DG，如圖，
∵AB=AG=2，即MA垂直平分BG，
∴△MGB為等腰直角三角形，
∴Q點(diǎn)在G點(diǎn)，即Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）；
當(dāng)BQ′=BM，
∴Q′G=

(2 10 )2-42

=2

6

，
∴OQ′=6-2

6

或6+2

6

∴Q′的坐標(biāo)為（6-2

6

，0）或（6+2

6

，0）
∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，0）或（6-2

6

，0）或（6+2

6

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k，當(dāng)a＜0，x=h，y的最大值為k；當(dāng)x＜h，y隨x的增大而增大．也考查了三角形相似的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用．