Question

如圖1，已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)C（0，3），該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)是D．
（1）求此拋物線的解析式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求△ACD的面積；
（3）如圖2，在直線y=-2x上有一動(dòng)點(diǎn)E，過E作直線EF∥y軸，交該拋物線于點(diǎn)F，以E、F、C、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，再把函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AD的解析式，設(shè)AD與y軸的交點(diǎn)為H，然后求出CD的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（3）根據(jù)二次函數(shù)解析式與直線解析式表示出EF，然后根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等列方程求解即可．

解答：解：（1）由題意得，

-1+b+c=0 c=3

，
解得

b=-2 c=3

，
所以，二次函數(shù)解析式是y=-x²-2x+3，
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，4）；

（2）設(shè)AD的解析式為y=kx+b，
則

k+b=0 -k+b=4

，
解得

k=-2 b=2

，
所以，直線AD的解析式為y=-2x+2，
設(shè)AD與y軸的交點(diǎn)為H，則CH=3-2=1，
所以，S_△ACD=

1

2

×1×（1+1）=1；

（3）如圖，設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-2x），則F點(diǎn)的坐標(biāo)是（x，-x²-2x+3），
EF=|-x²-2x+3+2x|=|x²-3|，
∵OC∥DE，
∴要使以F、E、C、O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，只要EF=OC，
∴|x²-3|=3，
∴x²-3=3或x²-3=-3，
解得x=±

6

，x=0（舍去），
當(dāng)x=

6

時(shí)，y=-2x=-2

6

，
當(dāng)x=-

6

時(shí)，y=-2x=2

6

，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

6

，-2

6

）或（-

6

，2

6

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，三角形的面積，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于（3）列出絕對(duì)值方程．