Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線經過點M（1，3）和N（3，5）

（1）試判斷該拋物線與x軸交點的情況；

（2）平移這條拋物線，使平移后的拋物線經過點A（﹣2，0），且與y軸交于點B，同時滿足以A、O、B為頂點的三角形是等腰直角三角形，請你寫出平移過程，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線與x軸沒有交點；（2）先向左平移3個單位，再向下平移3個單位或將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位．

【解析】

試題分析：（1）把M、N兩點的坐標代入拋物線解析式可求得a、b的值，可求得拋物線解析式，再根據一元二次方程根的判別式，可判斷拋物線與x軸的交點情況；

（2）利用A點坐標和等腰三角形的性質可求得B點坐標，設出平移后的拋物線的解析式，把A、B的坐標代入可求得平移后的拋物線的解析式，比較平移前后拋物線的頂點的變化即可得到平移的過程．

試題解析：

（1）由拋物線過M、N兩點，把M、N坐標代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線解析式為，令y=0可得，該方程的判別式為△=9﹣4×1×5=9﹣20=﹣11＜0，∴拋物線與x軸沒有交點；

（2）∵△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），點B在y軸上，∴B點坐標為（0，2）或（0，﹣2），可設平移后的拋物線解析式為：

①當拋物線過點A（﹣2，0），B（0，2）時，代入可得：，解得：，∴平移后的拋物線為，∴該拋物線的頂點坐標為（，），而原拋物線頂點坐標為（，），∴將原拋物線先向左平移3個單位，再向下平移3個單位即可獲得符合條件的拋物線；

②當拋物線過A（﹣2，0），B（0，﹣2）時，代入可得：，解得：，∴平移后的拋物線為，∴該拋物線的頂點坐標為（，），而原拋物線頂點坐標為（，），∴將原拋物線先向左平移2個單位，再向下平移5個單位即可獲得符合條件的拋物線．