Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)D，取AC的中點(diǎn)E，連接DE、OE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑是

3

2

cm，ED=2cm，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）可證明DE是⊙O的切線，只要證得∠ODE=90°即可．
（2）先利用勾股定理求出OE的長，再利用中位線定理，可求出AB的長．

解答：（1）證明：連接OD，（1分）
∵O、E分別是BC、AC中點(diǎn)，
∴OE∥AB．
∴∠1=∠2，∠B=∠3．
∵OB=OD，
∴∠2=∠3．
∵OD=OC，OE=OE，
∴△OCE≌△ODE．
∴∠OCE=∠ODE．
∵∠C=90°，
∴∠ODE=90°．（2分）
∴DE是⊙O的切線．（3分）

（2）解：在Rt△ODE中，
∵OD=

3

2

，DE=2，
∴OE=

5

2

．（5分）
又∵O、E分別是CB、CA的中點(diǎn)，
∴AB=2•OE=2×

5

2

=5．
∴所求AB的長是5cm．（7分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形的判定和性質(zhì)、以及切線的判定，還有勾股定理、中位線定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用．