Question

已知下面一列等式：
1×

1

2

=1-

1

2

；

1

2

×

1

3

=

1

2

-

1

3

；

1

3

×

1

4

=

1

3

-

1

4

；

1

4

×

1

5

=

1

4

-

1

5

；…
（1）請(qǐng)你從左邊這些等式的結(jié)構(gòu)特征寫(xiě)出它的一般性等式；
（2）驗(yàn)證一下你寫(xiě)出的等式是否成立；
（3）利用等式計(jì)算：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+

1

(x+3)(x+4)

．

Answer 1

分析：（1）觀察已知的四個(gè)等式，發(fā)現(xiàn)等式的左邊是兩個(gè)分?jǐn)?shù)之積，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，后面一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母比前面一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母大1，并且第一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母與等式的序號(hào)相等，等式的右邊是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，據(jù)此可寫(xiě)出一般性等式；
（2）根據(jù)分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則即可驗(yàn)證；
（3）根據(jù)（1）中的結(jié)論求解．

解答：解：（1）

1

n

•

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

；

（2）∵

1

n

-

1

n+1

=

n+1

n(n+1)

-

n

n(n+1)

=

1

n(n+1)

=

1

n

•

1

n+1

，
∴

1

n

•

1

n+1

=

1

n

-

1

n+1

；

（3）原式=（

1

x

-

1

x+1

）+（

1

x+1

-

1

x+2

）+（

1

x+2

-

1

x+3

）+（

1

x+3

-

1

x+4

）
=

1

x

-

1

x+4

=

4

x2+4x

．

點(diǎn)評(píng)：本題是尋找規(guī)律的題型，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、歸納問(wèn)題及解決問(wèn)題的能力．總結(jié)規(guī)律要從整體、部分兩個(gè)方面入手，防止片面總結(jié)出錯(cuò)誤結(jié)論．