Question

【題目】如圖甲，在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于點、，⊙的半徑為個單位長度，點為直線上的動點，過點作⊙的切線、，切點分別為、，且．

（1）判斷四邊形的形狀并說明理由．

（2）求點的坐標．

（3）若直線沿軸向左平移得到一條新的直線，此直線將⊙的圓周分得兩段弧長之比為，請直接寫出的值．

（4）若將⊙沿軸向右平移（圓心始終保持在軸上），試寫出當⊙與直線有交點時圓心的橫坐標的取值范圍．（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）OCPD是正方形；（2）（2,4）或（4,2）；（3）±；（4）．

【解析】試題分析: （1）四邊形OCPD是正方形．如圖，連接OC、OD．根據切線的性質和已知條件得知四邊形OCPD的三個內角是90°，則該四邊形是矩形．又由OC=OD，所以四邊形OCPD是正方形；（2）連接OP，由為正方形，可得，設，由和勾股定理可得，解得：或．所以點坐標為或；（3）已知平移后的新直線交圓于，分得的兩段弧長之比為，可知分得的劣弧是圓周的，因直線與軸夾角為，，可得，所以當為圓周時，直線與坐標軸的交點恰好是⊙與坐標軸的交點，

即可得當平移到位置時，；當平移到位置時，，所以

的值為或；（4）如圖，⊙沿軸向右平移過程中分別在⊙處，⊙處與直線相切，則圓在落在，之間均滿足題意，由此即可求得圓心的橫坐標的取值范圍．

試題解析:

（）四邊形為正方形．

理由如下：連接、，易知，，

又，

∴四邊形為矩形，

又，

∴四邊形為正方形．

（）連接，

∵為正方形，

∴，

∵在直線上，

設，

由得：

，

解得：或．

∴點坐標為或．

（）平移后的新直線交圓于，分得的兩段弧長之比為，

∴分得的劣弧是圓周的，

∵直線與軸夾角為，，

∴，

當為圓周時，直線與坐標軸的交點恰好是⊙與坐標軸的交點，

當平移到位置時，；

當平移到位置時，，

∴的值為或．

（）如圖，⊙沿軸向右平移過程中分別在⊙處，⊙處與直線相切，

則圓在落在，之間均滿足題意，

在⊙處相切時，為等腰直角三角形，

∴，．

∴，同理，在⊙處相切時，，

∴，

∴當⊙與直線有交點時，圓心的橫坐標的取值范圍為．