Question

【題目】如圖，在中，AB<AC，點(diǎn)D、F分別為BC、AC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AC上，連接DE，過(guò)點(diǎn)B作DE的垂線交AC于點(diǎn)G，垂足為點(diǎn)H，且與四邊形ABDE的周長(zhǎng)相等，設(shè)AC=b，AB=c．

（1）求線段CE的長(zhǎng)度；

（2）求證：DF=EF；

（3）若，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解；（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意得：AE+AB=CE，結(jié)合AB+AC=b+c，進(jìn)而即可求解；

（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)和定義得DF =c，CF=b，結(jié)合CE=，可得EF的長(zhǎng)，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（3）連接BE、DG，設(shè)BG，DF交于點(diǎn)M，易得BE∥DG，從而得△ABE∽△FDG，進(jìn)而得FG=(bc)，再證∠EGH=∠ABG，從而得AB=AG=c，結(jié)合CF=FG+CG，得到關(guān)于b，c的等式，即可得到結(jié)論．

（1）∵與四邊形ABDE的周長(zhǎng)相等，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴AE+AB=CE，

∵AE+AB+CE=AB+AC=b+c，

∴CE==；

（2）∵點(diǎn)D、F分別為BC、AC的中點(diǎn)，

∵DF是△CAB的中位線，

∴DF=AB=c，AF=CF=AC=b，

∵CE=，

∴EF=CE-CF=b =c，

∴DF=EF；

（3）連接BE、DG，設(shè)BG，DF交于點(diǎn)M，

∵S△BDH=S△EGH，

∴S△BDG=S△DEG，

∴BE∥DG，

∴∠EBC=∠GDC，

∵DF是△CAB的中位線，

∴DF∥AB，

∴∠ABC=∠FDC，∠A=∠DFC，

∴∠ABC-∠EBC=∠FDC-∠GDC，即：∠ABE=∠FDG，

∴△ABE∽△FDG，

∴，

∵AE=AC-CE=b-=(bc)

∴FG=AE=×(bc)=(bc)，

∵DF=EF，

∴∠FED=∠FDE，

∵BG⊥DE，

∴∠FED+∠EGH=∠FDE+∠DMH=90°，

∴∠EGH=∠DMH，

又∵∠DMH=∠FMG，

∴∠EGH=∠FMG，

又∵∠FMG=∠ABG，

∴∠EGH=∠ABG，

∴AB=AG=c，

∴CG=bc，

∴CF=b=FG+CG=(bc)+(bc)，

∴3b=5c，

∴=．