Question

（2010•邢臺(tái)一模）如圖所示，一圓柱高AB為5cm，BC是底面直徑，設(shè)底面半徑長(zhǎng)度為acm，求點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面移動(dòng)到點(diǎn)C的最短路線．

方案設(shè)計(jì)
某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種方案：
圖1是方案一的示意圖，該方案中的移動(dòng)路線的長(zhǎng)度為l₁，則l₁=5+2a（cm）；
圖2是方案二的示意圖，設(shè)l₂是把圓柱沿AB側(cè)面展開的線段AC的長(zhǎng)度，則l₂=

25+π2a2

cm（保留π）．
計(jì)算探究

①當(dāng)a=3時(shí)，比較大小：l₁

＞

 l₂（填“＞”“=”或“＜”）；
②當(dāng)a=4時(shí)，比較大小：l₁

＜

 l₂（填“＞”“=”或“＜”）；
延伸拓展
在一般情況下，設(shè)圓柱的底面半徑為rcm．高為hcm．
①若l₁²=l₂²，求h與r之間的關(guān)系；
②假定r取定值，那么h取何值時(shí)，l₁＜l₂？
③假定r取定值，那么h取何值時(shí)，l₁＞l₂？

Answer 1

分析：易得l₂為直角邊長(zhǎng)為5和圓柱的底面周長(zhǎng)的一半的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；
把相關(guān)數(shù)值代入計(jì)算后，即可得到大小關(guān)系；
先把相關(guān)數(shù)值代入①即可得到h與r之間的關(guān)系，進(jìn)而利用得到關(guān)系式可推出②③．

解答：解：l₂=

25+π2a2

cm；
當(dāng)a=3時(shí)，（l₁）²=121；（l₂）²=25+9π²；∴l(xiāng)₁＞l₂，
當(dāng)a=4時(shí)，（l₁）²=169；（l₂）²=25+16π²；
∴l(xiāng)₁＜l₂，
故答案為

25+π2a2

；＞；＜．
①（2r+h）²=h²+π²r²，
r=

4h

π2-4

；
②l₁²＜l₂²時(shí)，l₁＜l₂，
（2r+h）²＜h²+π²r²，
h＜

π2r-4r

4

，
③由②可得h＞

π2r-4r

4

時(shí)，l₁＞l₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面展開-最短路徑問(wèn)題；比較兩個(gè)數(shù)的大小，有時(shí)比較兩個(gè)數(shù)的平方比較簡(jiǎn)便；注意運(yùn)用類比的方法做類型題．