Question

（2007•益陽(yáng)）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=4，將矩形沿對(duì)角線(xiàn)AC剪開(kāi)，解答以下問(wèn)題：
（1）在△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，△A₁CD₁是旋轉(zhuǎn)后的新位置（圖A），求此AA₁的距離；
（2）將△ACD沿對(duì)角線(xiàn)AC向下翻折（點(diǎn)A、點(diǎn)C位置不動(dòng)，△ACD和△ABC落在同一平面內(nèi)），△ACD₂是翻折后的新位置（圖B），求此時(shí)BD₂的距離；
（3）將△ACD沿CB向左平移，設(shè)平移的距離為x（0≤x≤4），△A₂C₁D₃是平移后的新位置（圖C），若△ABC與△A₂C₁D₃重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由勾股定理可得AC長(zhǎng)度，由于AC=A₁C，因?yàn)椤螦CA₁=60°，所以△ACA₁為等邊三角形，那么AA₁=AC
（2）易得BD₂是等腰梯形的上底，那么可過(guò)梯形上底兩個(gè)端點(diǎn)作下底的垂線(xiàn)，得到兩個(gè)全等的直角三角形，把所求線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到下底求解．
（3）易得陰影部分為平行四邊形，那么可根據(jù)相應(yīng)的三角函數(shù)求得陰影部分的底與高．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，，
在△ACA₁中，∵AC=A₁C，∠ACA₁=60°，
∴△ACA₁為等邊三角形．
∴AA₁=AC=8．（4分）

（2）如圖2所示，過(guò)B，D₂分別作BE⊥AC于E，D₂F⊥AC于F，則BE∥D₂F，
在Rt△ABC中，∵AB=4，BC=4，tan∠BAC===，
∴∠BAC=60°．
在Rt△ABE中，AB=4，∠BAE=60°，∠ABE=30°，
∴AE=AB=2，BE=2．
同理，CF=2，，
∴EF=AC-AE-CF=8-2-2=4，
∵，
∴四邊形BEFD₂是平行四邊形，
∴BD₂=EF=4．（8分）

（3）如圖3所示，AA₂=x，x，，
∵平移的概念及矩形的性質(zhì)得AG∥C₁H，GC₁∥AH，
∴四邊形AGC₁H是平行四邊形，
∴y=S_{平行四邊形AGC1H}=AG•AD₃=（0≤x≤4）．（12分）

點(diǎn)評(píng)：旋轉(zhuǎn)前后，翻折前后得到的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段和角都相等，作等腰梯形的兩高構(gòu)造直角三角形是常用的輔助線(xiàn)方法．