Question

定義：P、Q分別是兩條線段a和b上任意一點，線段PQ長度的最小值叫做線段與線段的距離.

已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四點.

（1）根據(jù)上述定義，當m=2，n=2時，如圖1，線段BC與線段OA的距離是_____,

當m=5，n=2時，如圖2，線段BC與線段OA的距離(即線段AB的長)為______

 （2）如圖3，若點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，線段BC與線段OA的距離記為d，求d關于m的函數(shù)解析式.

（3）當m的值變化時，動線段BC與線段OA的距離始終為2，線段BC的中點為M.

①求出點M隨線段BC運動所圍成的封閉圖形的周長;

②點D的坐標為(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x軸,垂足為H，是否存在m的值，使以A、M、H為頂點的三角形與△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）2；（2）（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=

【解析】解：（1）2；。

       （2）∵點B落在圓心為A，半徑為2的圓上，∴2≤m≤6。

當4≤m≤6時，根據(jù)定義， d=AB=2。

                當2≤m＜4時，如圖，過點B作BE⊥OA于點E，

則根據(jù)定義，d=EB。

               

②存在。如圖，

由A(4，0)，D(0，2), 得。

                

                  又FM₄=2，∴。

                  若△AOD∽△A H₂M₂，則,即,

                   解得（不合題意，舍去）。此時m=。

                   若△AOD∽△M₂H₂ A，則,即,

                   解得（不合題意，舍去）。