Question

（2013•南昌）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：
（1）操作發(fā)現(xiàn)：在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論正確的是

①②③④

（填序號(hào)即可）
①AF=AG=

1

2

AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形；④MD⊥ME．
（2）數(shù)學(xué)思考：在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)給出證明過程；
（3）類比探究：
（i）在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．答：

等腰直角三角形

．
（ii）在三邊互不相等的△ABC中（見備用圖），仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作（非等腰）直角三角形ABD和（非等腰）直角三角形ACE，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，要使（2）中的結(jié)論此時(shí)仍然成立，你認(rèn)為需增加一個(gè)什么樣的條件？（限用題中字母表示）并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由條件可以通過三角形全等和軸對(duì)稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（2）取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出四邊形AFMG是平行四邊形，從而得出△DFM≌△MGE，根據(jù)其性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
（3）i取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論；
ii如圖4，作直角三角形ADB和直角三角形AEC，∠ADB=∠AEC=90°，當(dāng)∠BAD=∠CAE時(shí)，作AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，DF和MG相交于H，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)K可以得出△DFM≌△MGE，由全等三角形的性質(zhì)就可以得出結(jié)論DM=EM．

解答：解：（1）∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴∠ABD=∠DAB=∠ACE=∠EAC=45°，∠ADB=∠AEC=90°
∵在△ADB和△AEC中，

∠ADB=∠AEC ∠ABD=∠ACE AB=AC

，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE，AD=AE，
∵DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，
∴AF=BF=DF=

1

2

AB，AG=GC=GE=

1

2

AC．
∵AB=AC，
∴AF=AG=

1

2

AB，故①正確；
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴BM=CM．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACE，
即∠DBM=∠ECM．
在△DBM和△ECM中

BD=CE ∠DBM=∠ECM BM=CM

∴△DBM≌△ECM（SAS），
∴MD=ME．故②正確；
連接AM，根據(jù)前面的證明可以得出將圖形1，沿AM對(duì)折左右兩部分能完全重合，
∴整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，故③正確．
∵AB=AC，BM=CM，
∴AM⊥BC，
∴∠AMB=∠AMC=90°，
∵∠ADB=90°，
∴四邊形ADBM四點(diǎn)共圓，
∴∠AMD=∠ABD=45°．
∵AM是對(duì)稱軸，
∴∠AME=∠AMD=45°，
∴∠DME=90°，
∴MD⊥ME，故④正確，

（2）MD=ME，
理由：取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，
∴AF=

1

2

AB，AG=

1

2

AC．
∵△ABD和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF⊥AB，DF=

1

2

AB，EG⊥AC，EG=

1

2

AC，
∴∠AFD=∠AGE=90°，DF=AF，GE=AG．
∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，
∴MF∥AC，MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴AG=MF，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∴MF=GE，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
∴∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中，

MF=GE ∠DFM=∠MGE DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME；

（3）i∵點(diǎn)M、F、G分別是BC、AB、AC的中點(diǎn)，
∴MF∥AC，MF=

1

2

AC，MG∥AB，MG=

1

2

AB，
∴四邊形MFAG是平行四邊形，
∴MG=AF，MF=AG．∠AFM=∠AGM．
∵△ADB和△AEC是等腰直角三角形，
∴DF=AF，GE=AG，∠AFD=∠BFD=∠AGE=90°
∴MF=EG，DF=MG，∠AFM-∠AFD=∠AGM-∠AGE，
即∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中

MF=EG ∠DFM=∠MGE DF=MG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴MD=ME，∠MDF=∠EMG．
∵M(jìn)G∥AB，
∴∠MHD=∠BFD=90°，
∴∠HMD+∠MDF=90°，
∴∠HMD+∠EMG=90°，
即∠DME=90°，
∴△DME為等腰直角三角形；
ii如圖4，△ADB和△AEC是直角三角形，∠ADB=∠AEC=90°，當(dāng)∠BAD=∠CAE時(shí)，DM=EM．
理由：取AB、AC的中點(diǎn)F、G，連接DF，MF，EG，MG，
∴MF=

1

2

AC，MF∥AC，MG=

1

2

AB，MG∥AB，
∴四邊形AFMG是平行四邊形，
∴MF=AG，MG=AF，∠AFM=∠AGM．
∵∠ADB=∠AEC=90°，
∴DF=AF，EG=AG，
∴DF=MG，MF=EG，∠FDA=∠DAF，∠AGE=∠GAE．
∵∠BAD=∠CAE，
∴∠FDA=∠DAF=∠AEG=∠GAE，
∴∠AFD=∠AGE，
∴∠AFD-∠AFM=∠AGE-∠AGM，
即∠DFM=∠MGE．
∵在△DFM和△MGE中，

DF=MG ∠DFM=∠MGE MF=EG

，
∴△DFM≌△MGE（SAS），
∴DM=ME．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的中位線的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的斜邊上的中線的性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)制造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．