【題目】如圖(1),AOB45°,點PQ分別是邊OA,OB上的兩點,且OP2cm.將O沿PQ折疊,點O落在平面內點C.

1PCQB時,OQ ;

PCQB時,求OQ的長.

2)當折疊后重疊部分為等腰三角形時,求OQ的長.

【答案】1 2 222 , 22 3)符合條件的點Q共有5個. 當點CAOB內部或一邊上時,OQ2, 2 當點CAOB的外部時,OQ .

【解析】試題分析:(1由平行線的性質得出O=CPA,由折疊的性質得出C=O,OP=CP,證出CPA=C,得出OPQC,證出四邊形OPCQ是菱形,得出OQ=OP=2cm即可;
PCQB時,分兩種情況:設OQ=xcm,證出OPM是等腰直角三角形,得出OM= ,證出CQM是等腰直角三角形,得出 ,得出方程解方程即可;(ii)同(i)得出: ,即可得出結論;

2)當折疊后重疊部分為等腰三角形時,符合條件的點Q共有5個;點CAOB的內部或一邊上時,由折疊的性質、三角形內角和定理以及解直角三角形即可求出OQ的長;點CAOB的外部時,同理求出OQ的長即可;

試題解析:

1PCQB時,O=CPA
由折疊的性質得:C=O,OP=CP,
∴∠CPA=C,
OPQC,
四邊形OPCQ是平行四邊形,
四邊形OPCQ是菱形,
OQ=OP=2cm;
PCQB時,分兩種情況:
如圖1所示:設OQ=xcm


∵∠O=45°,
∴△OPM是等腰直角三角形,

∴OM= ,

∴QM= ,

由折疊的性質得:∠C=∠O=45°,CQ=OQ=x,
∴△CQM是等腰直角三角形,
∴QC= ,

,

解得:

即OQ= ;

(ii)如圖2所示:

同(i)得:OQ=

綜上所述:當PC⊥QB時,OQ的長為 ;

(2)當折疊后重疊部分為等腰三角形時,符合條件的點Q共有5個;
①點C在∠AOB的內部時,四邊形OPCQ是菱形,OQ=OP=2cm;
②當點C在∠AOB的一邊上時,△OPQ是等腰直角三角形,OQ= ,

③當點C在∠AOB的外部時,分兩種情況:
(i)如圖3所示:PM=PQ,則∠PMQ=∠PQM=∠O+∠OPQ,


由折疊的性質得:∠OPQ=∠MPQ,
設∠OPQ=∠MPQ=x,
則∠PMQ=∠PQM=45°+x,
在△OPM中,由三角形內角和定理得:45°+x+x+45°+x=180°,
解得:x=30°,
∴∠OPQ=30°,
作QN⊥OP于N,設ON=a,
∵∠O=45°,
則QN=ON=a,OQ= ,PN= ,

∵ON+PN=OP,
∴a+ ,

解得: ,

∴OQ=

(ii)如圖4所示:PQ=MQ,作QN⊥OA于N,


同①得:OQ= ;

綜上所述:當折疊后重疊部分為等腰三角形時,OQ的長為2cm或 。

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