Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx（a＜0）的圖象過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，過A點(diǎn)的直線與y軸交于B，與二次函數(shù)的圖象交于另一點(diǎn)C，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，AC：BC=3：1．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為F，其對(duì)稱軸與直線AB及x軸分別交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，若△FCD與△AED相似，求此二次函數(shù)的關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖，過點(diǎn)C作CM∥OA交y軸于M．

∵AC：BC=3：1，

∴ = ．

∵CM∥OA，

∴△BCM∽△BAO，

∴ = = ，

∴OA=4CM=4，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）；

（2）

解：∵二次函數(shù)y=ax2+bx（a＜0）的圖象過A點(diǎn)（﹣4，0），

∴16a﹣4b=0，

∴b=4a，

∴y=ax2+4ax，對(duì)稱軸為直線x=﹣2，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣4a）．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，將A（﹣4，0）代入，

得﹣4k+n=0，

∴n=4k，

∴直線AB的解析式為y=kx+4k，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4k），D點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，2k），C點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，3k）．

∵C（﹣1，3k）在拋物線y=ax2+4ax上，

∴3k=a﹣4a，

∴k=﹣a．

∵△AED中，∠AED=90°，

∴若△FCD與△AED相似，則△FCD是直角三角形，

∵∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，

∴∠FCD=90°，

∴△FCD∽△AED．

∵F（﹣2，﹣4a），C（﹣1，3k），D（﹣2，2k），k=﹣a，

∴FC2=（﹣1+2）2+（3k+4a）2=1+a2，CD2=（﹣2+1）2+（2k﹣3k）2=1+a2，

∴FC=CD，

∴△FCD是等腰直角三角形，

∴△AED是等腰直角三角形，

∴∠DAE=45°，

∴∠OBA=45°，

∴OB=OA=4，

∴4k=4，

∴k=1，

∴a=﹣1，

∴此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x2﹣4x．

【解析】（1）過點(diǎn)C作CM∥OA交y軸于M，則△BCM∽△BAO，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出 = ，即OA=4CM=4，由此得出點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0）；（2）先將A（﹣4，0）代入y=ax2+bx，化簡(jiǎn)得出b=4a，即y=ax2+4ax，則頂點(diǎn)F（﹣2，﹣4a），設(shè)直線AB的解析式為y=kx+n，將A（﹣4，0）代入，化簡(jiǎn)得n=4k，即直線AB的解析式為y=kx+4k，則B點(diǎn)（0，4k），D（﹣2，2k），C（﹣1，3k）．由C（﹣1，3k）在拋物線y=ax2+4ax上，得出3k=a﹣4a，化簡(jiǎn)得到k=﹣a．再由△FCD與直角△AED相似，則△FCD是直角三角形，又∠FDC=∠ADE＜90°，∠CFD＜90°，得出∠FCD=90°，△FCD∽△AED．再根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式得出FC2=CD2=1+a2 ， 得出△FCD是等腰直角三角形，則△AED也是等腰直角三角形，所以∠DAE=45°，由三角形內(nèi)角和定理求出∠OBA=45°，那么OB=OA=4，即4k=4，求出k=1，a=﹣1，進(jìn)而得到此二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣x2﹣4x．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�