Question

如圖所示，△ABC中，E、F、D分別是邊AB、AC、BC上的點，且滿足

AE

EB

=

AF

FC

=

1

2

，則△EFD與△ABC的面積比為

2：9

．

Answer 1

分析：先設(shè)△AEF的高是h，△ABC的高是h′，由于

AE

EB

=

AF

FC

=

1

2

，根據(jù)比例性質(zhì)易得

AE

AB

=

AF

AC

=

1

3

．而∠A=∠A，易證△AEF∽△ABC，從而易得h′=3h，那么△DEF的高就是2h，再設(shè)△AEF的面積是s，EF=a，由于相似三角形的面積比等于相似比的平方，那么S_△AEF：S_△ABC=1：9，于是S_△ABC=9s，根據(jù)三角形面積公式易求S_△DEF=2s，從而易求S_△DEF：S_△ABC的值．

解答：解：設(shè)△AEF的高是h，△ABC的高是h′，
∵

AE

EB

=

AF

FC

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

AF

AC

=

1

3

．
又∵∠A=∠A，
∴△AEF∽△ABC，
∴

h

h′

=

1

3

，

S△AEF

S△ABC

=(

AE

AB

)2=(

1

3

)2=

1

9

，
∴h′=3h，
∴△DEF的高=2h，
設(shè)△AEF的面積是s，EF=a，
∴S_△ABC=9s，
∵S_△DEF=

1

2

•EF•2h=ah=2s，
∴S_△DEF：S_△ABC=2：9．
故答案是：2：9．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是先證明△AEF∽△ABC，并注意相似三角形高的比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方．