Question

【題目】已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=5，聯(lián)結(jié)BD，sin∠ABD= ．點P是射線BC上的一個動點（點P不與點B重合），聯(lián)結(jié)AP，與對角線BD相交于點E，聯(lián)結(jié)EC．

（1）求證：AE=CE；
（2）當(dāng)點P在線段BC上時，設(shè)BP=x，△PEC的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）當(dāng)點P在線段BC的延長線上時，若△PEC是直角三角形，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD是菱形，

∴BA=BC，∠ABE=∠CBE．

在△ABE和△CBE中，

又∵BE=BE，

∴△ABE≌△CBE

∴AE=CE．

（2）

解：連接AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC，過點E作EF⊥BC，如圖1所示：

垂足分別為點H、F．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

∵AB=5， ，

∴AO=OC= ，BO=OD= ．

∵ ，

∴AH=4，BH=3．

∵AD∥BC，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ．

∵EF∥AH，

∴ ，

∴ ．

∴

（3）

解：因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．如圖2所示：

①當(dāng)∠ECP=90°時

∵△ABE≌△CBE，

∴∠BAE=∠BCE=90°，

∵ ，

∴ ，∴BP= ．

②當(dāng)∠CEP=90°時，

∵△ABE≌△CBE，

∴∠AEB=∠CEB=45°，

∴ ，

∴ ， ．

∵AD∥BP，

∴ ，

∴ ，

∴BP=15．

綜上所述，當(dāng)△EPC是直角三角形時，線段BP的長為 或15

【解析】（1）由菱形的性質(zhì)得出BA=BC，∠ABD=∠CBD．由SAS證明△ABE≌△CBE，即可得出結(jié)論．（2）聯(lián)結(jié)AC，交BD于點O，過點A作AH⊥BC于H，過點E作EF⊥BC于F，由菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD．由三角函數(shù)求出AO=OC= ，BO=OD= ．由菱形面積得出AH=4，BH=3．由相似三角形的性質(zhì)得出 ，求出EF的長，即可得出答案；∴ ，（3）因為點P在線段BC的延長線上，所以∠EPC不可能為直角．分情況討論：①當(dāng)∠ECP=90°時，②當(dāng)∠CEP=90°時，由全等三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)即可得出答案．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．