Question

【題目】菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，且AC=2BD，以AD為斜邊在菱形ABCD同側作Rt△ADE．
（1）如圖1，當點E落在邊AB上時．
①求證：∠BDE=∠BAO；
②求 的值；
③當AF=6時，求DF的長．

（2）如圖2，當點E落在菱形ABCD內部，且AE=DE時，猜想OE與OB的數量關系并證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，又△ADE是直角三角形，

∴∠AEF=∠DOF=90°，

∴∠BDE+∠DFO=∠BAO+∠AFE，

∵∠AFE=∠DFO，

∴∠BDE=∠BAO；

②∵AC=2BD，

∴AO=2OB，

∴tan∠BAO= = ，

∴tan∠ODF= = ，

∴ =2；

③設OF=x，則OD=2x，AO=4x，

∵AF=6，

∴4x﹣x=6，

∴x=2，即OF=2，DO=4，

由勾股定理得，DF= =2

（2）

解：OB= OE．

理由如下：如圖2，連結BE，

在△AEO和△DEB中，

，

∴△AEO≌△DEB，

∴EO=EB，∠AEO=∠DEB，

∴∠AEO﹣∠DEO=∠DEB﹣∠DEO，即∠OEB=∠AED=90°，

∴OB= OE．

【解析】（1）①根據菱形的性質和對頂角相等證明即可；②根據∠BAO=∠ODF以及正切的概念計算；③設OF=x，根據題意用x表示出OD、AO，根據題意求出x的值，根據勾股定理計算即可；（2）連結BE，證明△AEO≌△DEB，得到△OEB為等腰直角三角形，即可解答．
【考點精析】利用勾股定理的概念對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．