已知:如圖,圓O是△ABC的外接圓,圓心O在這個(gè)三角形的高CD上,E、F分別是邊AC和BC的中點(diǎn),求證:四邊形CEDF是菱形.

【答案】分析:由垂徑定理知,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),有AD=BD,可證△CAD≌△CBD,可得AC=BC;由E,F(xiàn)分別為AC,BC的中點(diǎn),D為AB中點(diǎn),得DF=CE=AC,DE=CF=BC,即DE=DF=CE=CF,從而可得四邊形CEDF為菱形.
解答:證明:∵AB為弦,CD為直徑所在的直線且AB⊥CD,
∴AD=BD,
又∵CD=CD,
∴△CAD≌△CBD,
∴AC=BC;
又∵E,F(xiàn)分別為AC,BC的中點(diǎn),D為AB中點(diǎn),
∴DF=CE=AC,DE=CF=BC,
∴DE=DF=CE=CF,
∴四邊形CEDF為菱形.
點(diǎn)評:本題考查了垂徑定理、三角形全等、三角形中位線的性質(zhì)以及菱形的判定.
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