Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E是邊CD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是邊CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，如果△ADE∽△FCE∽△ABF，且∠DAE、∠CFE、∠BAF是對(duì)應(yīng)角．求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：首先由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，△ADE∽△ABF，證得BF=DE，然后設(shè)DE=x，可得BF=x，CE=CD-DE=1-x，CF=BC+BF=1+x，又由△ADE∽△FCE，可得

AD

FC

=

DE

CE

，即可得方程

1

1+x

=

x

1-x

，解此方程即可求得答案．

解答：解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，
∴AD=AB=BC=CD=1，
∵△ADE∽△ABF，
∴

DE

BF

=

AD

AB

，
∴DE=BF，
設(shè)DE=x，
則BF=x，CE=CD-DE=1-x，CF=BC+BF=1+x，
∵△ADE∽△FCE，
∴

AD

FC

=

DE

CE

，
即

1

1+x

=

x

1-x

，
解得：x₁=

2

-1，x₂=-

2

-1（舍去），
∴DE=

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及一元二次方程的解法．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．