(2003•金華)如圖所示,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動;同時點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動時間為x.
(1)當(dāng)x為何值時,PQ∥BC;
(2)當(dāng),求的值;
(3)△APQ能否與△CQB相似?若能,求出AP的長;若不能,請說明理由.

【答案】分析:(1)當(dāng)PQ∥BC時,根據(jù)平行線分線段成比例定理,可得出關(guān)于AP,PQ,AB,AC的比例關(guān)系式,我們可根據(jù)P,Q的速度,用時間x表示出AP,AQ,然后根據(jù)得出的關(guān)系式求出x的值.
(2)我們先看當(dāng)時能得出什么條件,由于這兩個三角形在AC邊上的高相等,那么他們的底邊的比就應(yīng)該是面積比,由此可得出CQ:AC=1:3,那么CQ=10cm,此時時間x正好是(1)的結(jié)果,那么此時PQ∥BC,由此可根據(jù)平行這個特殊條件,得出三角形APQ和ABC的面積比,然后再根據(jù)三角形PBQ的面積=三角形ABC的面積-三角形APQ的面積-三角形BQC的面積來得出三角形BPQ和三角形ABC的面積比.
(3)本題要分兩種情況進(jìn)行討論.已知了∠A和∠C對應(yīng)相等,那么就要分成AP和CQ對應(yīng)成比例以及AP和BC對應(yīng)成比例兩種情況來求x的值.
解答:解:(1)由題意得,PQ平行于BC,則AP:AB=AQ:AC,AP=4x,AQ=30-3x
=
∴x=

(2)∵S△BCQ:S△ABC=1:3
∴CQ:AC=1:3,CQ=10cm
∴時間用了秒,AP=cm,
∵由(1)知,此時PQ平行于BC
∴△APQ∽△ABC,相似比為,
∴S△APQ:S△ABC=4:9
∴四邊形PQCB與三角形ABC面積比為5:9,即S四邊形PQCB=S△ABC,
又∵S△BCQ:S△ABC=1:3,即S△BCQ=S△ABC,
∴S△BPQ=S四邊形PQCB-S△BCQS△ABC-S△ABC=S△ABC,
∴S△BPQ:S△ABC=2:9=

(3)假設(shè)兩三角形可以相似
情況1:當(dāng)△APQ∽△CQB時,CQ:AP=BC:AQ,即有=解得x=,
經(jīng)檢驗,x=是原分式方程的解.
此時AP=cm,
情況2:當(dāng)△APQ∽△CBQ時,CQ:AQ=BC:AP,即有=解得x=5,
經(jīng)檢驗,x=5是原分式方程的解.
此時AP=20cm.
點(diǎn)評:本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì),根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關(guān)鍵.
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(2)設(shè)△ABC滾動240°時,C點(diǎn)的位置為C′,△ABC滾動480°時,A點(diǎn)的位置為A′.請你利用三角函數(shù)中正切的兩角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tanα•tanβ),求出∠CAC′+∠CAA′的度數(shù).

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